(ক) যেসব ভৌত রাশির একক মৌলিক রাশির এককের ওপর নির্ভর করে এবং এক বা একাধিক মৌলিক রাশির এককের গুণফল বা ভাগফল থেকে উৎপন্ন হয়, তাদের লব্ধ একক বলে। (খ) দুটি অসমান সমজাতীয় ভেক্টরের লব্ধির মান তাদের বিয়োগফলের সমান হতে পারে। যেহেতু ভেক্টর দুটি অসমান, তাই তাদের বিয়োগফল কখনোই শূন্য হতে পারে না। সুতরাং, দুটি অসমান সমজাতীয় ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হওয়া সম্ভব নয়। (গ) দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \vec{A}&=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \\ \vec{B}&=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k} \end{aligned} $$ ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে, $$ \begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \\ \vec{A} \cdot \vec{B} &= (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4 \\ |\vec{A}| &= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3 \\ |\vec{B}| &= \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 \\ \cos \alpha &= \frac{4}{3 \times 7} = \frac{4}{21} \\ \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.02^\circ \end{aligned} $$ অতএব, $\alpha$ এর মান $79.02^\circ$। (ঘ) $\vec{A}$ এর ওপর $\vec{B}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$। $$ \begin{aligned} &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$ ধরি, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী নতুন কোণ $\theta$ হলে অভিক্ষেপ হবে পূর্বের অভিক্ষেপের এক-চতুর্থাংশ। $$ \begin{aligned} |\vec{B}| \cos \theta &= \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \\ 7 \cos \theta &= \frac{1}{3} \\ \cos \theta &= \frac{1}{21} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) \approx 87.27^\circ \end{aligned} $$ কোণের পরিবর্তন হবে, $$ \begin{aligned} \Delta \alpha &= 87.27^\circ - 79.02^\circ = 8.25^\circ \end{aligned} $$ অর্থাৎ, $\alpha$ এর মান $8.25^\circ$ বৃদ্ধি করতে হবে।