(ক) কোনো দৃঢ় বস্তুর ওপর বল প্রযুক্ত হলে বস্তুটির মধ্যে কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু বা অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণন সৃষ্টির যে প্রবণতা তৈরি হয়, তাকে বলের ভ্রামক বা টর্ক বলে। (খ) যে বলের বিরুদ্ধে কৃত কাজের পুনরুদ্ধার সম্ভব নয়, তাকে অসংরক্ষণশীল বল বলে। কোনো বস্তুকে অমসৃণ তলের ওপর দিয়ে টেনে নিয়ে যাওয়ার সময় ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। এই কৃতকাজ বস্তুটির মধ্যে স্থিতিশক্তিরূপে সঞ্চিত থাকে না এবং বস্তুটি কোনো কাজ করার সামর্থ্য লাভ করে না। বস্তুটিকে তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরিয়ে আনার সময় আবার ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। অর্থাৎ, ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কৃতকাজ তাপশক্তি হিসেবে অপচয় হয় এবং তা পুনরুদ্ধার করা যায় না। তাই ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল। (গ) উদ্দীপক হতে, $$ \begin{aligned} \vec{A}&=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \\ \vec{B}&=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} \end{aligned} $$ $\vec{A}$ ভেক্টরের মান, $$ \begin{aligned} |\vec{A}|&=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(2)^2} \\ &=\sqrt{4+1+4} \\ &=\sqrt{9}=3 \end{aligned} $$ $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর ডট গুণফল, $$ \begin{aligned} \vec{A}\cdot\vec{B}&=(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\cdot(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) \\ &=(2\times2)+(-1\times3)+(2\times1) \\ &=4-3+2=3 \end{aligned} $$ $\vec{A}$ এর ওপর $\vec{B}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো, $$ \begin{aligned} &=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|} \\ &=\frac{3}{3}=1 \end{aligned} $$ অতএব, $\vec{A}$ এর ওপর $\vec{B}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $1$। (ঘ) দেওয়া আছে, $\vec{F}=x^2y\hat{i}+y^2z\hat{j}+z^2x\hat{k}$। কার্ল $\vec{F}$ নির্ণয়ের জন্য, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\times\vec{F}&=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2y & y^2z & z^2x \end{vmatrix} \\ &=\hat{i}\left(\frac{\partial}{\partial y}(z^2x)-\frac{\partial}{\partial z}(y^2z)\right)-\hat{j}\left(\frac{\partial}{\partial x}(z^2x)-\frac{\partial}{\partial z}(x^2y)\right)+\hat{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}(y^2z)-\frac{\partial}{\partial y}(x^2y)\right) \\ &=\hat{i}(0-y^2)-\hat{j}(z^2-0)+\hat{k}(0-x^2) \\ &=-y^2\hat{i}-z^2\hat{j}-x^2\hat{k} \end{aligned} $$ $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে কার্ল $\vec{F}$ এর মান, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\times\vec{F}&=-(-1)^2\hat{i}-(1)^2\hat{j}-(1)^2\hat{k} \\ &=-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k} \end{aligned} $$ এর মান বা পরম মান, $$ \begin{aligned} |\vec{\nabla}\times\vec{F}|&=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2} \\ &=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \end{aligned} $$ মন্তব্য: যেহেতু $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে কার্ল $\vec{F} \neq 0$, তাই ভেক্টর ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল।