(ক) যে তাপমাত্রায় কোনো নির্দিষ্ট আয়তনের বায়ু তাতে উপস্থিত জলীয় বাষ্প দ্বারা সম্পৃক্ত হয়, সেই তাপমাত্রাকে ঐ বায়ুর শিশিরাঙ্ক বলে। (খ) সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার বেগ শূন্য হলেও তার ত্বরণ শূন্য নাও হতে পারে। সরল ছন্দিত গতির ক্ষেত্রে, কণার বেগ $v$ এবং ত্বরণ $a$ যথাক্রমে নিম্নরূপ: $$ \begin{aligned} v &= \omega \sqrt{A^2 - x^2} \\ a &= -\omega^2 x \end{aligned} $$ এখানে, $A$ হলো বিস্তার, $x$ হলো সাম্যাবস্থান থেকে সরণ এবং $\omega$ হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক। যখন কণাটি বিস্তারের প্রান্তবিন্দুতে থাকে, তখন সরণ $x = A$ হয়। এই অবস্থায় বেগ, $$ \begin{aligned} v &= \omega \sqrt{A^2 - A^2} = 0 \end{aligned} $$ কিন্তু ত্বরণ, $$ \begin{aligned} a &= -\omega^2 A \end{aligned} $$ যেহেতু প্রান্তবিন্দুতে ত্বরণ $-\omega^2 A$ (যা অশূন্য), তাই বেগ শূন্য হলেও ত্বরণ শূন্য হয় না। (গ) দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A} &= 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k} \\ \overrightarrow{B} &= 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \end{aligned} $$ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণফলের মানের সমান। $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(3 \cdot 2 - 4 \cdot 4) - \hat{j}(3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + \hat{k}(3 \cdot 4 - 3 \cdot 2) \\ &= \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(6 - 8) + \hat{k}(12 - 6) \\ &= -10\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \end{aligned} $$ ক্ষেত্রফল, $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}| &= \sqrt{(-10)^2 + 2^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{100 + 4 + 36} \\ &= \sqrt{140} \approx 11.832 \end{aligned} $$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $11.83$ বর্গ একক। (ঘ) তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট বা বক্স গুণফলের মান শূন্য হওয়া, অর্থাৎ $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C}) = 0$। দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A} &= 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k} \\ \overrightarrow{B} &= 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \\ \overrightarrow{C} &= 1\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k} \end{aligned} $$ প্রথমে $\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C}$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(3 \cdot 1 - 4 \cdot 2) - \hat{j}(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + \hat{k}(3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) \\ &= \hat{i}(3 - 8) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(6 - 3) \\ &= -5\hat{i} + 1\hat{j} + 3\hat{k} \end{aligned} $$ এখন, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C}) &= (2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 1\hat{j} + 3\hat{k}) \\ &= (2)(-5) + (4)(1) + (2)(3) \\ &= -10 + 4 + 6 \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের মান শূন্য, তাই ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।