(ক) প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় বা নির্দেশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। (খ) আয়ত একক ভেক্টরসমূহ হলো $\hat{i}, \hat{j}$ ও $\hat{k}$, যা যথাক্রমে $X, Y$ ও $Z$ অক্ষ বরাবর কাজ করে। এদের দিক সুনির্দিষ্ট এবং এরা পরস্পরের সাথে $90^\circ$ কোণে অবস্থান করে। অন্যদিকে, যেকোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ ভেক্টর বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। অর্থাৎ, একক ভেক্টরের দিক নির্ভর করে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরের দিকের ওপর। তাই আয়ত একক ভেক্টরের মতো একক ভেক্টরের দিক সর্বদা নির্দিষ্ট থাকে না, বরং ভেক্টরভেদে তা পরিবর্তিত হয়। (গ) দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B}&=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k} \\ \overrightarrow{C}&=4\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} \end{aligned} $$ $\overrightarrow{C}$ বরাবর $\overrightarrow{B}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো $\frac{\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{C}|}$। প্রথমে $\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C}$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C}&=(\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) \cdot (4\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) \\ &=(1)(4) + (-2)(-2) + (-1)(1) \\ &=4+4-1 \\ &=7 \end{aligned} $$ এখন, $\overrightarrow{C}$ এর মান নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{C}|&=\sqrt{4^2+(-2)^2+1^2} \\ &=\sqrt{16+4+1} \\ &=\sqrt{21} \end{aligned} $$ অতএব, লম্ব অভিক্ষেপ: $$ \begin{aligned} &=\frac{7}{\sqrt{21}} \\ &=\frac{7}{\sqrt{21}} \times \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} \\ &=\frac{7\sqrt{21}}{21} \\ &=\frac{\sqrt{21}}{3} \end{aligned} $$ (ঘ) দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A}&=4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \\ \overrightarrow{B}&=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k} \\ \overrightarrow{C}&=4\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} \end{aligned} $$ ভেক্টরগুলোর বিয়োগফল ও তাদের মান নির্ণয় করি: ১. $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ এর মান: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}&=(4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) \\ &=3\hat{i}+4\hat{j} \\ |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|&=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 \end{aligned} $$ ২. $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}$ এর মান: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}&=(\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k})-(4\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) \\ &=-3\hat{i}-2\hat{k} \\ |\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}|&=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \approx 3.61 \end{aligned} $$ ৩. $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}$ এর মান: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}&=(4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})-(4\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) \\ &=4\hat{j}-2\hat{k} \\ |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}|&=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \approx 4.47 \end{aligned} $$ মানগুলো তুলনা করলে পাই, $5 > \sqrt{20} > \sqrt{13}$। অর্থাৎ, $|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}| > |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}| > |\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}|$। সুতরাং, প্রদত্ত সম্পর্কটি সঠিক নয়।