(ক) দুটি ভেক্টরের যে গুণনে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায়, যার মান ভেক্টরদ্বয়ের মান এবং এদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান, তাকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলে। (খ) ধরি, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ দুটি ভেক্টর এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$। স্কেলার গুণনের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= AB \cos \theta\\ \vec{B} \cdot \vec{A} &= BA \cos \theta \end{aligned} $$ যেহেতু $A$ ও $B$ স্কেলার মান, তাই $AB = BA$। সুতরাং, $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$। অর্থাৎ, স্কেলার গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে। (গ) দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$। ভেক্টরদ্বয়ের মান: $$ \begin{aligned} A &= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3\\ B &= \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = 7 \end{aligned} $$ ডট গুণন: $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2)\\ &= 12 - 6 - 2 = 4 \end{aligned} $$ মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে, $$ \begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB} = \frac{4}{3 \times 7} = \frac{4}{21}\\ \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.02^{\circ} \end{aligned} $$ (ঘ) দুটি ভেক্টরের গুণন থেকে লম্ব ও সমান্তরাল হওয়ার শর্ত জানা যায়: ১. লম্ব হওয়ার শর্ত: দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হয়। কারণ, $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos 90^{\circ} = 0$। ২. সমান্তরাল হওয়ার শর্ত: দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল (ক্রস গুণন) শূন্য হলে ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়। কারণ, $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin 0^{\circ} \hat{n} = 0$।