(ক) ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রটি হলো- কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু যদি দুটি ভেক্টরের মান ও দিক সূচিত করে, তবে ঐ বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টর দুটির লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে। (খ) কোনো ভেক্টরের নির্দেশক রেখাটির আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু যদি একই বিন্দুতে অবস্থান করে, তবে রেখাংশটি একটি বিন্দুতে পরিণত হয়। এ ধরনের ভেক্টরকে শূন্য ভেক্টর বা নাল ভেক্টর বলে। নাল ভেক্টরের মান শূন্য, অর্থাৎ এর মান $|\vec{0}|=0$। যেহেতু এর মান শূন্য এবং এর আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই, তাই এর কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই। (গ) দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \vec{a}&=2x^3\hat{i}-3y\hat{j}+x^2\hat{k} \\ \varphi&=2z-x^3y \end{aligned} $$ প্রথমে $\vec{\nabla}\varphi$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\varphi&=\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)(2z-x^3y) \\ &=\hat{i}\frac{\partial}{\partial x}(2z-x^3y)+\hat{j}\frac{\partial}{\partial y}(2z-x^3y)+\hat{k}\frac{\partial}{\partial z}(2z-x^3y) \\ &=-3x^2y\hat{i}-x^3\hat{j}+2\hat{k} \end{aligned} $$ এখন, $\vec{a}\cdot\vec{\nabla}\varphi$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{\nabla}\varphi&=(2x^3\hat{i}-3y\hat{j}+x^2\hat{k})\cdot(-3x^2y\hat{i}-x^3\hat{j}+2\hat{k}) \\ &=-6x^5y+3x^3y+2x^2 \end{aligned} $$ $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{\nabla}\varphi&=-6(1)^5(-1)+3(1)^3(-1)+2(1)^2 \\ &=6-3+2 \\ &=5 \end{aligned} $$ (ঘ) আমরা জানি, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{F}$ অঘূর্ণনশীল হলে, এর কার্ল শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{\nabla}\times\vec{F}=0$। $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\times\vec{F}&=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x+2y+az & bx-3y-z & 4x+cy+2z \end{vmatrix}=0 \\ \Rightarrow \hat{i}\left(\frac{\partial}{\partial y}(4x+cy+2z)-\frac{\partial}{\partial z}(bx-3y-z)\right)-\hat{j}\left(\frac{\partial}{\partial x}(4x+cy+2z)-\frac{\partial}{\partial z}(x+2y+az)\right)+\hat{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}(bx-3y-z)-\frac{\partial}{\partial y}(x+2y+az)\right)&=0 \\ \Rightarrow \hat{i}(c-(-1))-\hat{j}(4-a)+\hat{k}(b-2)&=0 \\ \Rightarrow \hat{i}(c+1)-\hat{j}(4-a)+\hat{k}(b-2)&=0 \end{aligned} $$ উভয়পক্ষে সহগ সমীকৃত করে পাই, $$ \begin{aligned} c+1&=0 \Rightarrow c=-1 \\ 4-a&=0 \Rightarrow a=4 \\ b-2&=0 \Rightarrow b=2 \end{aligned} $$ সুতরাং, $a=4, b=2$ এবং $c=-1$ হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হবে।