(ক) যে ভেক্টরের মান ১ একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। (খ) কার্লের ভৌত তাৎপর্য নিচে দেওয়া হলো: ১. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি। ২. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে, ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল হয়। অর্থাৎ, $\vec{\nabla} \times \vec{A} = 0$ হলে $\vec{A}$ অঘূর্ণনশীল। ৩. কোনো ঘূর্ণনশীল বস্তুর রৈখিক বেগের কার্ল বস্তুটির কৌণিক বেগের দ্বিগুণ। অর্থাৎ, $\vec{\nabla} \times \vec{v} = 2\vec{\omega}$। ৪. কোনো বল বা ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে, ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল হয়। আর কার্ল শূন্য না হলে ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল বা অসংরক্ষণশীল হয়। (গ) দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ আমরা জানি, $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ বা $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$। এখানে, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= (2)(1) + (2)(2) + (-2)(4) \\ &= 2 + 4 - 8 \\ &= -2 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} |\vec{A}| &= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \\ |\vec{B}| &= \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \end{aligned} $$ সুতরাং, $$ \begin{aligned} \cos \theta &= \frac{-2}{2\sqrt{3} \times \sqrt{21}} \\ &= \frac{-2}{2\sqrt{63}} \\ &= -\frac{1}{3\sqrt{7}} \\ \theta &= \cos^{-1}(-0.12598) \\ \theta &\approx 97.24^{\circ} \end{aligned} $$ অতএব, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ প্রায় $97.24^{\circ}$। (ঘ) দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ $\vec{C} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে যদি তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ হয়। প্রথমে $\vec{B} \times \vec{C}$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{B} \times \vec{C} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(-2 - 8) - \hat{j}(-1 - 8) + \hat{k}(2 - 4) \\ &= -10\hat{i} + 9\hat{j} - 2\hat{k} \end{aligned} $$ এখন, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) &= (2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} + 9\hat{j} - 2\hat{k}) \\ &= (2)(-10) + (2)(9) + (-2)(-2) \\ &= -20 + 18 + 4 \\ &= 2 \end{aligned} $$ যেহেতু $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) \neq 0$, তাই ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে না।