(ক)
দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপরীত রাশি (reciprocal) হলে, তাদেরকে পরস্পরের বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।

(খ)
ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান $|\vec{A}+\vec{B}|$ এবং তাদের মানের বিয়োগফল $|\vec{A}|-|\vec{B}|$ সমান হওয়ার শর্তটি নিচে বিশ্লেষণ করা হলো:
ধরি,
$$ |\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}|-|\vec{B}| $$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$$ \begin{aligned} A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta &= (A - B)^2 \\ \Rightarrow\quad A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta &= A^2 + B^2 - 2AB \\ \Rightarrow\quad 2AB \cos \theta &= -2AB \\ \Rightarrow\quad \cos \theta &= -1 \\ \Rightarrow\quad \theta &= \cos^{-1}(-1) \\ \Rightarrow\quad \theta &= 180^\circ \end{aligned} $$
অর্থাৎ, ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী হলে (তাদের মধ্যবর্তী কোণ $180^\circ$ হলে) প্রদত্ত শর্তটি সত্য হবে।

(গ)
উদ্দীপক হতে পাই,
পাথরের ভর, $m = 10\text{ kg}$
প্রথম বলের মান, $A = 100\text{ N}$
দ্বিতীয় বলের মান, $B = 80\text{ N}$
তৃতীয় বলের মান, $C = 40\text{ N}$

$x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে বলত্রয়ের কোণ যথাক্রমে:
$$ \begin{aligned} \alpha &= 30^\circ \\ \beta &= 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \\ \gamma &= 180^\circ + 53^\circ = 233^\circ \end{aligned} $$
বলগুলোকে $x$ ও $y$ অক্ষ বরাবর উপাংশে বিভাজন করে পাই:
$$ \begin{aligned} \vec{A} &= 100 \cos 30^\circ \hat{i} + 100 \sin 30^\circ \hat{j} \\ &= 86.60 \hat{i} + 50.00 \hat{j} \\ \vec{B} &= 80 \cos 120^\circ \hat{i} + 80 \sin 120^\circ \hat{j} \\ &= -40.00 \hat{i} + 69.28 \hat{j} \\ \vec{C} &= 40 \cos 233^\circ \hat{i} + 40 \sin 233^\circ \hat{j} \\ &= -24.07 \hat{i} - 31.95 \hat{j} \end{aligned} $$
লব্ধি বল, $\vec{F} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$
$$ \begin{aligned} \vec{F} &= (86.60 - 40.00 - 24.07)\hat{i} + (50.00 + 69.28 - 31.95)\hat{j} \\ &= 22.53\hat{i} + 87.33\hat{j} \end{aligned} $$
লব্ধি বলের মান:
$$ \begin{aligned} F &= \sqrt{(22.53)^2 + (87.33)^2} \\ &= \sqrt{507.60 + 7626.53} \\ &= \sqrt{8134.13} \\ &= 90.19\text{ N} \end{aligned} $$
পাথরটির ত্বরণ:
$$ \begin{aligned} a &= \frac{F}{m} \\ &= \frac{90.19}{10} \\ &= 9.02\text{ ms}^{-2} \end{aligned} $$
লব্ধি বলের দিক ($x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ $\theta$):
$$ \begin{aligned} \theta &= \tan^{-1}(\frac{87.33}{22.53}) \\ &= 75.55^\circ \end{aligned} $$
অতএব, প্রথম তিন ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের কারণে পাথরটি $x$-অক্ষের সাথে $75.55^\circ$ কোণে $9.02\text{ ms}^{-2}$ ত্বরণে চলছিল।

(ঘ)
(গ) হতে প্রাপ্ত লব্ধি বল, $\vec{F} = 22.53\hat{i} + 87.33\hat{j}$
ধরি, চতুর্থ ব্যক্তির প্রযুক্ত বল $\vec{D}$।
চতুর্থ ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের দরুন পাথরটি স্থির হয়ে যাওয়ায়,

$$ \begin{aligned} \vec{F} + \vec{D} &= \vec{0} \\ \Rightarrow\quad \vec{D} &= -\vec{F} \\ \Rightarrow\quad \vec{D} &= -22.53\hat{i} - 87.33\hat{j} \end{aligned} $$
চতুর্থ বলের মান:
$$ \begin{aligned} D &= \sqrt{(-22.53)^2 + (-87.33)^2} \\ &= 90.19\text{ N} \end{aligned} $$
চতুর্থ বলের দিক ($x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ $\theta_D$):
যেহেতু $\vec{D}$ ভেক্টরের $x$ ও $y$ উভয় উপাংশই ঋণাত্মক, তাই এটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
$$ \begin{aligned} \theta_D &= 180^\circ + \tan^{-1}(\frac{-87.33}{-22.53}) \\ &= 180^\circ + 75.55^\circ \\ &= 255.55^\circ \end{aligned} $$
অতএব, চতুর্থ ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের মান $90.19\text{ N}$ এবং এর দিক $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $255.55^\circ$ কোণে (অর্থাৎ লব্ধি বলের ঠিক বিপরীত দিকে) ক্রিয়াশীল ছিল।