(ক) যে ভেক্টরের মান ১ একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। (খ) ধরি, $\vec{r}$ একটি অবস্থান ভেক্টর, যেখানে $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$। সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তনের হারকে বেগ ($\vec{v}$) বলে। $$ \begin{aligned} \vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d}{dt}(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \\ &= \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ &= v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k} \end{aligned} $$ এখানে $v_x, v_y, v_z$ যথাক্রমে $x, y, z$ অক্ষ বরাবর বেগের উপাংশ। আবার, সময়ের সাপেক্ষে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ ($\vec{a}$) বলে। $$ \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{d\vec{v}}{dt} \\ &= \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}\right) \\ &= \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k} \\ &= a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k} \end{aligned} $$ এখানে $a_x, a_y, a_z$ যথাক্রমে $x, y, z$ অক্ষ বরাবর ত্বরণের উপাংশ। (গ) প্রশ্নানুসারে, $F$ মানের বলকে দুটি অংশে বিশ্লেষণ করা হলো। একটি অংশ বলটির সমমানের ($F$) এবং অপর অংশটি $Q$। এদের মধ্যবর্তী কোণ $(\alpha + \beta)$ এবং $Q$ অংশটি $F$ এর সাথে সমকোণ ($90^\circ$) উৎপন্ন করে। সামান্তরিকের সূত্রানুসারে লব্ধি $F$ হলে, $$ \begin{aligned} F &= \sqrt{F^2 + Q^2 + 2FQ \cos(\alpha + \beta)} \\ \Rightarrow F^2 &= F^2 + Q^2 + 2FQ \cos(\alpha + \beta) \\ \Rightarrow Q^2 + 2FQ \cos(\alpha + \beta) &= 0 \\ \Rightarrow Q(Q + 2F \cos(\alpha + \beta)) &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $Q \neq 0$, তাই $Q = -2F \cos(\alpha + \beta)$। আবার, $Q$ উপাংশটি $F$ এর সাথে $90^\circ$ কোণে থাকলে, $$ \begin{aligned} \tan 90^\circ &= \frac{Q \sin(\alpha + \beta)}{F + Q \cos(\alpha + \beta)} = \infty \\ \Rightarrow F + Q \cos(\alpha + \beta) &= 0 \\ \Rightarrow \cos(\alpha + \beta) &= -\frac{F}{Q} \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} Q &= -2F \left(-\frac{F}{Q}\right) \\ \Rightarrow Q^2 &= 2F^2 \\ \Rightarrow Q &= \sqrt{2}F \end{aligned} $$ দিক নির্ণয়ের জন্য, $$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= -\frac{F}{\sqrt{2}F} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \alpha + \beta &= 135^\circ \end{aligned} $$ যেহেতু $Q$ অংশটি $F$ এর সাথে $90^\circ$ কোণে আছে, তাই অপর অংশটির মান $\sqrt{2}F$ এবং দিক $F$ বলের সাথে $90^\circ$ কোণে অবস্থিত। (ঘ) উদ্দীপকের $F$ বলকে দুটি দিকে বিভাজিত করার জন্য $O$ বিন্দু থেকে $OB$ এর দুপাশে $\alpha$ ও $\beta$ কোণ করে $OA$ ও $OC$ রেখা টানা হলো। $OB$ কে কর্ণ ধরে $OABC$ সামান্তরিক আঁকা হলো। সামান্তরিকের সূত্রানুসারে, $OB$ দ্বারা সূচিত $F$ বলের দুটি অংশক $\vec{OA}$ এবং $\vec{OC}$। ত্রিভুজ সূত্র বা সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{P}{\sin \beta} &= \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{F}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} \\ \Rightarrow \frac{P}{\sin \beta} &= \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{F}{\sin(\alpha + \beta)} \end{aligned} $$ এখান থেকে অংশকদ্বয়ের মান, $$ \begin{aligned} P &= \frac{F \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \\ Q &= \frac{F \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \end{aligned} $$ যদি অংশকদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়, তবে $\alpha + \beta = 90^\circ$। তখন, $$ \begin{aligned} P &= F \sin \beta = F \sin(90^\circ - \alpha) = F \cos \alpha \\ Q &= F \sin \alpha \end{aligned} $$