(ক) যে ভেক্টরের মান ১ একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। (খ) কোনো ভেক্টর অপারেটর $\vec{\nabla}$ যখন কোনো স্কেলার ফাংশন $\varphi$ এর ওপর প্রযুক্ত হয়, তখন যে ভেক্টর রাশি পাওয়া যায় তাকে ঐ স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট বলে। গাণিতিকভাবে, $\varphi$ এর গ্রেডিয়েন্ট হলো: $$ \begin{aligned} \text{grad } \varphi &= \vec{\nabla} \varphi \\ &= \left( \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\ &= \hat{i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial \varphi}{\partial z} \end{aligned} $$ গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর রাশি, যা স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার ও দিক নির্দেশ করে। (গ) দেওয়া আছে, $\vec{V} = 4xy^3z \hat{i} - 3x^3yz \hat{j} + 5xyz^2 \hat{k}$। কার্ল, $\vec{\nabla} \times \vec{V}$ নির্ণয় করতে হবে: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{V} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 4xy^3z & -3x^3yz & 5xyz^2 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(5xyz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(-3x^3yz) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(5xyz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(4xy^3z) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(-3x^3yz) - \frac{\partial}{\partial y}(4xy^3z) \right) \\ &= \hat{i} (5xz^2 + 3x^3y) - \hat{j} (5yz^2 - 4xy^3) + \hat{k} (-9x^2yz - 12xy^2z) \\ &= (5xz^2 + 3x^3y) \hat{i} + (4xy^3 - 5yz^2) \hat{j} - (9x^2yz + 12xy^2z) \hat{k} \end{aligned} $$ (ঘ) স্কেলার ক্ষেত্র $\varphi = 3x^2yz + 4xyz + 2yz^3$ কে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর করতে এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \varphi &= \hat{i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial \varphi}{\partial z} \\ &= \hat{i} (6xyz + 4yz) + \hat{j} (3x^2z + 4xz + 2z^3) + \hat{k} (3x^2y + 4xy + 6yz^2) \end{aligned} $$ এটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র। ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{V} = 4xy^3z \hat{i} - 3x^3yz \hat{j} + 5xyz^2 \hat{k}$ কে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করতে এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{V} &= \frac{\partial}{\partial x}(4xy^3z) + \frac{\partial}{\partial y}(-3x^3yz) + \frac{\partial}{\partial z}(5xyz^2) \\ &= 4y^3z - 3x^3z + 10xyz \end{aligned} $$ এটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র। সুতরাং, গ্রেডিয়েন্ট প্রয়োগ করে স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ডাইভারজেন্স প্রয়োগ করে ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়।