(ক) কোনো বস্তুর সমস্ত ভর যে বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত থাকে এবং যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে বস্তুর মোট ওজন খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে, সেই বিন্দুকে বস্তুর ভারকেন্দ্র বলে। (খ) মহাকর্ষীয় বিভব সর্বদা ঋণাত্মক হয়। কোনো বিন্দুর মহাকর্ষীয় বিভব $-12 \text{ J/kg}$ বলতে বোঝায়, অসীম দূরত্ব থেকে $1 \text{ kg}$ ভরের একটি বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের ওই বিন্দুতে আনতে মহাকর্ষ বল দ্বারা $12 \text{ J}$ কাজ সম্পন্ন হয়। অর্থাৎ, অসীম থেকে ওই বিন্দুতে আনতে বহিঃস্থ এজেন্ট দ্বারা $-12 \text{ J}$ কাজ করতে হয়। (গ) দেওয়া আছে, স্কেলার রাশি $p(x, y, z) = 2xy^4 - x^2z$। গ্রেডিয়েন্ট $\nabla p$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \nabla p &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) (2xy^4 - x^2z) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(2xy^4 - x^2z) \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}(2xy^4 - x^2z) \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}(2xy^4 - x^2z) \hat{k} \\ &= (2y^4 - 2xz) \hat{i} + (8xy^3) \hat{j} - x^2 \hat{k} \end{aligned} $$ $(2, -1, -2)$ বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট: $$ \begin{aligned} \nabla p_{(2, -1, -2)} &= \{2(-1)^4 - 2(2)(-2)\} \hat{i} + \{8(2)(-1)^3\} \hat{j} - (2)^2 \hat{k} \\ &= (2 + 8) \hat{i} - 16 \hat{j} - 4 \hat{k} \\ &= 10 \hat{i} - 16 \hat{j} - 4 \hat{k} \end{aligned} $$ (ঘ) উদ্দীপক অনুযায়ী, $\vec{A} = (2x + y) \hat{i} + (3y + z^2) \hat{j} + (-5z + x) \hat{k}$ $\vec{B} = (6xy + z^3) \hat{i} + (3x^2 - z) \hat{j} + (3xz^2 - y) \hat{k}$ $\vec{A}$ ভেক্টরের ক্ষেত্রে: $$ \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{A} &= \frac{\partial}{\partial x}(2x + y) + \frac{\partial}{\partial y}(3y + z^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-5z + x) \\ &= 2 + 3 - 5 \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু ডাইভারজেন্স শূন্য, তাই $\vec{A}$ সলিনয়ডাল। $$ \begin{aligned} \nabla \times \vec{A} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2x+y & 3y+z^2 & -5z+x \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(0 - 2z) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(0 - 1) \\ &= -2z \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \neq 0 \end{aligned} $$ যেহেতু কার্ল শূন্য নয়, তাই $\vec{A}$ ঘূর্ণনশীল। $\vec{B}$ ভেক্টরের ক্ষেত্রে: $$ \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{B} &= \frac{\partial}{\partial x}(6xy + z^3) + \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - z) + \frac{\partial}{\partial z}(3xz^2 - y) \\ &= 6y + 0 + 6xz \\ &= 6(y + xz) \neq 0 \end{aligned} $$ যেহেতু ডাইভারজেন্স শূন্য নয়, তাই $\vec{B}$ সলিনয়ডাল নয়। $$ \begin{aligned} \nabla \times \vec{B} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & 3x^2-z & 3xz^2-y \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(-1 - (-1)) - \hat{j}(3z^2 - 3z^2) + \hat{k}(6x - 6x) \\ &= 0 \hat{i} - 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = 0 \end{aligned} $$ যেহেতু কার্ল শূন্য, তাই $\vec{B}$ অঘূর্ণনশীল। উপসংহার: $\vec{A}$ সলিনয়ডাল কিন্তু ঘূর্ণনশীল এবং $\vec{B}$ অঘূর্ণনশীল কিন্তু সলিনয়ডাল নয়।