(ক) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল হলো ওই ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর $\nabla$ (ডেল)-এর ক্রস গুণফল। গাণিতিকভাবে, যদি $\vec{A}$ একটি ভেক্টর ক্ষেত্র হয়, তবে এর কার্ল হলো $\nabla \times \vec{A}$। (খ) আমরা জানি, $\hat{i}$ এবং $\hat{j}$ যথাক্রমে $X$ এবং $Y$ অক্ষ বরাবর দুটি একক ভেক্টর। যেহেতু $X$ এবং $Y$ অক্ষ পরস্পর লম্ব, তাই এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 90^\circ$। ডট গুণফলের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $$ \begin{aligned} \hat{i} \cdot \hat{j} &= |\hat{i}| |\hat{j}| \cos \theta \\ &= 1 \cdot 1 \cdot \cos 90^\circ \\ &= 1 \cdot 1 \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned} $$ সুতরাং, $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$। (গ) দেওয়া আছে, $$ \vec{A} = (6xy + z^2) \hat{i} + (3x^2 - z) \hat{j} + (3xz^2 - y) \hat{k} $$ ডাইভারজেন্স হলো ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ডেল অপারেটরের ডট গুণফল: $$ \begin{aligned} \text{div } \vec{A} &= \nabla \cdot \vec{A} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) \cdot \left( (6xy + z^2) \hat{i} + (3x^2 - z) \hat{j} + (3xz^2 - y) \hat{k} \right) \\ &= \frac{\partial}{\partial x} (6xy + z^2) + \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - z) + \frac{\partial}{\partial z} (3xz^2 - y) \\ &= 6y + 0 + 6xz \\ &= 6y + 6xz \end{aligned} $$ এখন, $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান, $$ \begin{aligned} \text{div } \vec{A} &= 6(-1) + 6(1)(1) \\ &= -6 + 6 \\ &= 0 \end{aligned} $$ নির্ণেয় ডাইভারজেন্সের মান $0$। (ঘ) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত হলো এর কার্ল শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ $\nabla \times \vec{A} = 0$ হতে হবে। $$ \begin{aligned} \text{curl } \vec{A} &= \nabla \times \vec{A} \\ &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy + z^2 & 3x^2 - z & 3xz^2 - y \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 - z) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy + z^2) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy + z^2) \right) \\ &= \hat{i} (-1 - (-1)) - \hat{j} (3z^2 - 2z) + \hat{k} (6x - 6x) \\ &= 0 \hat{i} - (3z^2 - 2z) \hat{j} + 0 \hat{k} \\ &= (2z - 3z^2) \hat{j} \end{aligned} $$ যেহেতু $\text{curl } \vec{A} \neq 0$, তাই $\vec{A}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল নয়।