(ক) যে সকল ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করে, তাদের সমতলীয় ভেক্টর বলে। (খ) যে বলের বিরুদ্ধে কৃত কাজের পুনরুদ্ধার সম্ভব নয়, তাকে অসংরক্ষণশীল বল বলে। কোনো বস্তুকে অমসৃণ তলের ওপর দিয়ে টেনে নেওয়ার সময় ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। এই কৃতকাজ বস্তুটির মধ্যে স্থিতিশক্তিরূপে জমা থাকে না এবং বস্তুটিও কোনো কাজ করার সামর্থ্য অর্জন করে না। বস্তুটিকে পুনরায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরিয়ে আনার সময়ও ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। ফলে ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কৃত কাজের পুনরুদ্ধার করা যায় না বলে ঘর্ষণ বল সংরক্ষণশীল নয়। (গ) দেওয়া আছে, স্কেলার ক্ষেত্র $\varphi = 2x^2y^2z^4$। প্রথমে গ্র্যাডিয়েন্ট নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \varphi = \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) (2x^2y^2z^4) \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x} (2x^2y^2z^4) \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial}{\partial y} (2x^2y^2z^4) \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial}{\partial z} (2x^2y^2z^4) \right) \hat{k} \\ &= 4xy^2z^4 \hat{i} + 4x^2yz^4 \hat{j} + 8x^2y^2z^3 \hat{k} \end{aligned} $$ এখন ডাইভারজেন্স নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) \cdot (4xy^2z^4 \hat{i} + 4x^2yz^4 \hat{j} + 8x^2y^2z^3 \hat{k}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x} (4xy^2z^4) + \frac{\partial}{\partial y} (4x^2yz^4) + \frac{\partial}{\partial z} (8x^2y^2z^3) \\ &= 4y^2z^4 + 4x^2z^4 + 24x^2y^2z^2 \end{aligned} $$ (ঘ) দেওয়া আছে, ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{F} = x^2y \hat{i} - 2xyz \hat{j} + 2yz \hat{k}$। কার্ল নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \operatorname{Curl} \vec{F} &= \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2y & -2xyz & 2yz \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(-2xyz) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2y) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(-2xyz) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) \right) \\ &= \hat{i} (2z + 2xy) - \hat{j} (0 - 0) + \hat{k} (-2yz - x^2) \\ &= (2xy + 2z) \hat{i} - (x^2 + 2yz) \hat{k} \end{aligned} $$ এখন $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে মান বসাই: $$ \begin{aligned} \operatorname{Curl} \vec{F} &= (2(1)(-1) + 2(1)) \hat{i} - ((1)^2 + 2(-1)(1)) \hat{k} \\ &= (-2 + 2) \hat{i} - (1 - 2) \hat{k} \\ &= 0 \hat{i} + 1 \hat{k} = \hat{k} \end{aligned} $$ যেহেতু কার্লের মান শুধুমাত্র $\hat{k}$ অক্ষ বরাবর বিদ্যমান, তাই $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে কার্ল একমাত্রিক।