(ক) যে সংঘর্ষে বস্তুসমূহের মোট ভরবেগ এবং মোট গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে, তাকে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ বলে। (খ) বাঁকা পথে দ্রুত গতিশীল গাড়ি চলার সময় গাড়ির ওপর কেন্দ্রমুখী বলের প্রয়োজন হয়। গাড়িটি বাঁক নেওয়ার সময় জড়তার কারণে বাইরের দিকে ছিটকে যেতে চায়। এই প্রবণতা রোধ করার জন্য রাস্তার বাইরের দিকটি ভেতরের দিকের তুলনায় কিছুটা উঁচু করে রাখা হয়, যাকে ব্যাংকিং বলা হয়। যদি রাস্তার ব্যাংকিং কোণ গাড়ির গতির তুলনায় পর্যাপ্ত না হয়, তবে গাড়িটি বাঁক নেওয়ার সময় প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল পায় না এবং বাইরের দিকে উল্টে যাওয়ার সম্ভাবনা থাকে। (গ) দেওয়া আছে, $$ \vec{A} = 4xy^3z \hat{i} - 3x^3yz \hat{j} + 5xyz^2 \hat{k} $$ কার্ল নির্ণয়ের সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{A} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 4xy^3z & -3x^3yz & 5xyz^2 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(5xyz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(-3x^3yz) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(5xyz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(4xy^3z) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(-3x^3yz) - \frac{\partial}{\partial y}(4xy^3z) \right) \\ &= \hat{i} (5xz^2 + 3x^3y) - \hat{j} (5yz^2 - 4xy^3) + \hat{k} (-9x^2yz - 12xy^2z) \end{aligned} $$ সুতরাং, কার্ল $\vec{A} = (5xz^2 + 3x^3y) \hat{i} - (5yz^2 - 4xy^3) \hat{j} - (9x^2yz + 12xy^2z) \hat{k}$। (ঘ) স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর: কোনো স্কেলার ক্ষেত্র $\phi$ এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করলে তা একটি ভেক্টর ক্ষেত্র নির্দেশ করে। দেওয়া আছে, $\phi = 3x^2yz + 4xyz + 2yz^3$। $$ \begin{aligned} \text{grad } \phi &= \vec{\nabla} \phi \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) (3x^2yz + 4xyz + 2yz^3) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2yz + 4xyz + 2yz^3) \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}(3x^2yz + 4xyz + 2yz^3) \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}(3x^2yz + 4xyz + 2yz^3) \hat{k} \\ &= (6xyz + 4yz) \hat{i} + (3x^2z + 4xz + 2z^3) \hat{j} + (3x^2y + 4xy + 6yz^2) \hat{k} \end{aligned} $$ এটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র। ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর: কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A}$ এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় করলে তা একটি স্কেলার ক্ষেত্র নির্দেশ করে। দেওয়া আছে, $\vec{A} = 4xy^3z \hat{i} - 3x^3yz \hat{j} + 5xyz^2 \hat{k}$। $$ \begin{aligned} \text{div } \vec{A} &= \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) \cdot (4xy^3z \hat{i} - 3x^3yz \hat{j} + 5xyz^2 \hat{k}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(4xy^3z) + \frac{\partial}{\partial y}(-3x^3yz) + \frac{\partial}{\partial z}(5xyz^2) \\ &= 4y^3z - 3x^3z + 10xyz \end{aligned} $$ এটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র।