(ক) দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলকে ডট গুণন বলা হয়। যে গুণনে দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফল একটি স্কেলার রাশি প্রদান করে, তাকে ডট গুণন বা স্কেলার গুণন বলে। (খ) কেপলারের তৃতীয় সূত্রানুসারে, কোনো গ্রহের পর্যায়কাল $T$ এবং সূর্য থেকে গড় দূরত্ব $r$ হলে, $$ \begin{aligned} T^2 &\propto r^3 \end{aligned} $$ আমরা জানি, কৌণিক বেগ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ এবং রৈখিক বেগ $v = r\omega$। এখান থেকে পাই, $T = \frac{2\pi r}{v}$। এই মানটি সূত্রে বসালে, $$ \begin{aligned} \left(\frac{2\pi r}{v}\right)^2 &\propto r^3 \\ \Rightarrow \frac{4\pi^2 r^2}{v^2} &\propto r^3 \\ \Rightarrow v^2 &\propto \frac{1}{r} \\ \Rightarrow v &\propto \frac{1}{\sqrt{r}} \end{aligned} $$ অর্থাৎ, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ $r$ বাড়লে বেগ $v$ কমে যায়। তাই পৃথিবী সূর্য থেকে দূরে সরে গেলে এর বেগ কমে যায়। (গ) দেওয়া আছে, তাপমাত্রা $Q = 2xy^2z^3 - 4xy$। তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট হলো $\nabla Q$। $$ \begin{aligned} \nabla Q &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) (2xy^2z^3 - 4xy) \\ &= \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \hat{k} \\ &= (2y^2z^3 - 4y) \hat{i} + (4xyz^3 - 4x) \hat{j} + (6xy^2z^2) \hat{k} \end{aligned} $$ $(1, -1, 2)$ বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট, $$ \begin{aligned} \nabla Q_{(1, -1, 2)} &= \{2(-1)^2(2)^3 - 4(-1)\} \hat{i} + \{4(1)(-1)(2)^3 - 4(1)\} \hat{j} + \{6(1)(-1)^2(2)^2\} \hat{k} \\ &= \{2(8) + 4\} \hat{i} + \{-32 - 4\} \hat{j} + \{6(4)\} \hat{k} \\ &= 20 \hat{i} - 36 \hat{j} + 24 \hat{k} \end{aligned} $$ (ঘ) বাতাসের বেগের ঘূর্ণন যাচাই করার জন্য বেগের কার্ল (Curl) নির্ণয় করতে হবে। দেওয়া আছে, $\vec{V} = (y^2 \cos x + z^3) \hat{i} + (2y \sin x - 4) \hat{j} + (3xz^2 + 2) \hat{k}$ $$ \begin{aligned} \nabla \times \vec{V} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 \cos x + z^3 & 2y \sin x - 4 & 3xz^2 + 2 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 + 2) - \frac{\partial}{\partial z}(2y \sin x - 4) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 + 2) - \frac{\partial}{\partial z}(y^2 \cos x + z^3) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(2y \sin x - 4) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2 \cos x + z^3) \right) \\ &= \hat{i} (0 - 0) - \hat{j} (3z^2 - 3z^2) + \hat{k} (2y \cos x - 2y \cos x) \\ &= 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = 0 \end{aligned} $$ যেহেতু বেগের কার্ল শূন্য, তাই ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল। সুতরাং, ঐ দিন ঐ অঞ্চলের বাতাসে কোনো ঘূর্ণন ছিল না।