(ক) কোনো বস্তুর গতির কোনো নির্দিষ্ট মুহূর্তে বা অতি ক্ষুদ্র সময় ব্যবধানে যে বেগের মান পাওয়া যায়, তাকে তাৎক্ষণিক বেগ বলে। (খ) পানির ফোঁটা গোলাকৃতি হওয়ার মূল কারণ হলো পৃষ্ঠটান। তরলের মুক্ত পৃষ্ঠ সর্বদা সংকুচিত হয়ে সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল দখল করতে চায়। জ্যামিতিক নিয়ম অনুযায়ী, নির্দিষ্ট আয়তনের জন্য গোলকের ক্ষেত্রফল সর্বনিম্ন হয়। তাই পৃষ্ঠটানের প্রভাবে পানির ফোঁটা গোলাকৃতি ধারণ করে। (গ) দেওয়া আছে, ভেক্টর অপেক্ষক, $$ \vec{A} = x^2 y \hat{i} - 2xz \hat{j} + 2yz \hat{k} $$ আমরা জানি, কার্ল (Curl) হলো ভেক্টর অপারেটর $\vec{\nabla}$ এবং ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A}$ এর ক্রস গুণফল। $$ \begin{aligned} \operatorname{curl} \vec{A} &= \vec{\nabla} \times \vec{A} \\ &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2 y & -2xz & 2yz \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(-2xz) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(-2xz) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) \right) \\ &= \hat{i} (2z - (-2x)) - \hat{j} (0 - 0) + \hat{k} (-2z - x^2) \\ &= (2z + 2x) \hat{i} - (2z + x^2) \hat{k} \end{aligned} $$ নির্ণেয় কার্ল, $$ \operatorname{curl} \vec{A} = 2(z + x) \hat{i} - (2z + x^2) \hat{k} $$ (ঘ) উদ্দীপকে স্কেলার ক্ষেত্র $B = 3x^2 yz + 4xyz + 2yz^3$ এবং ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A} = x^2 y \hat{i} - 2xz \hat{j} + 2yz \hat{k}$ দেওয়া আছে। ১. স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর: কোনো স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট (Gradient) নির্ণয় করলে তা ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয়। $$ \begin{aligned} \operatorname{grad} B &= \vec{\nabla} B \\ &= \left( \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) (3x^2 yz + 4xyz + 2yz^3) \\ &= \hat{i} \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 yz + 4xyz + 2yz^3) + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 yz + 4xyz + 2yz^3) + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 yz + 4xyz + 2yz^3) \\ &= \hat{i} (6xyz + 4yz) + \hat{j} (3x^2 z + 4xz + 2z^3) + \hat{k} (3x^2 y + 4xy + 6yz^2) \end{aligned} $$ এটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র। ২. ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর: কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স (Divergence) নির্ণয় করলে তা স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয়। $$ \begin{aligned} \operatorname{div} \vec{A} &= \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \\ &= \left( \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (x^2 y \hat{i} - 2xz \hat{j} + 2yz \hat{k}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(-2xz) + \frac{\partial}{\partial z}(2yz) \\ &= 2xy + 0 + 2y \end{aligned} $$ এটি একটি স্কেলার রাশি।