(ক) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) হলো একটি ভেক্টর অপারেটর, যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন বা ঘূর্ণন প্রবণতা পরিমাপ করে। গাণিতিকভাবে, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A}$ এর কার্ল হলো $\vec{\nabla} \times \vec{A}$। (খ) বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড বা পাখাগুলো একটি নির্দিষ্ট কোণে বাঁকানো থাকে। পাখা যখন ঘোরে, তখন এই বাঁকানো ব্লেডগুলো বাতাসের ওপর বল প্রয়োগ করে। ব্লেডের বিশেষ জ্যামিতিক গঠনের কারণে বাতাসকে ওপর থেকে নিচের দিকে ঠেলে দেওয়া হয়, ফলে আমরা বাতাসের প্রবাহ অনুভব করি। (গ) গ্রেডিয়েন্ট শুধুমাত্র একটি স্কেলার ক্ষেত্রের ওপর প্রয়োগ করা যায়। এখানে $\vec{A}$ একটি ভেক্টর ক্ষেত্র। ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত নয়। তাই $(2, 1, -1)$ বিন্দুতে $\vec{A}$ এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করা সম্ভব নয়। (ঘ) দেওয়া আছে, $$ \vec{A} = (6xy + z^3)\hat{i} + (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k} $$ সলিনয়ডাল হওয়ার শর্ত হলো ডাইভারজেন্স শূন্য হওয়া। $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} &= \frac{\partial}{\partial x}(6xy + z^3) + \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - z) + \frac{\partial}{\partial z}(3xz^2 - y) \\ &= 6y + 0 + 6xz \\ &= 6y + 6xz \neq 0 \end{aligned} $$ যেহেতু ডাইভারজেন্স শূন্য নয়, তাই ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নয়। সংরক্ষণশীল হওয়ার শর্ত হলো কার্ল শূন্য হওয়া। $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{A} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & 3x^2-z & 3xz^2-y \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(3xz^2-y) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2-z) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3xz^2-y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy+z^3) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3x^2-z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy+z^3) \right) \\ &= \hat{i}(-1 - (-1)) - \hat{j}(3z^2 - 3z^2) + \hat{k}(6x - 6x) \\ &= 0\hat{i} - 0\hat{j} + 0\hat{k} = 0 \end{aligned} $$ যেহেতু কার্ল শূন্য, তাই ভেক্টরটি সংরক্ষণশীল।