(ক) যেসব গাণিতিক চিহ্নের সাহায্যে ভেক্টর রাশিকে রূপান্তর করা হয় বা ভেক্টর ক্ষেত্রের ওপর প্রয়োগ করে নতুন কোনো রাশি (স্কেলার বা ভেক্টর) পাওয়া যায়, তাদের ভেক্টর অপারেটর বলে। যেমন: ডেল ($\vec{\nabla}$) অপারেটর। (খ) আমরা জানি, কাজ হলো বল এবং সরণের ডট গুণফল বা স্কেলার গুণফল। গাণিতিকভাবে, $$ \begin{aligned} W &= \vec{F} \cdot \vec{s} \\ &= Fs \cos \theta \end{aligned} $$ এখানে $\vec{F}$ (বল) এবং $\vec{s}$ (সরণ) উভয়ই ভেক্টর রাশি। কিন্তু দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফলের ফলাফল সর্বদা একটি স্কেলার রাশি হয়। যেহেতু কাজের কেবল মান আছে কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই, তাই কাজ একটি স্কেলার রাশি। (গ) দেওয়া আছে, স্কেলার ফাংশন $Q = 2xy^4 - x^2z$। গ্রেডিয়েন্ট বা $\vec{\nabla}Q$ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}Q &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \right) (2xy^4 - x^2z) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(2xy^4 - x^2z) \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}(2xy^4 - x^2z) \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}(2xy^4 - x^2z) \hat{k} \\ &= (2y^4 - 2xz) \hat{i} + (8xy^3) \hat{j} + (-x^2) \hat{k} \end{aligned} $$ এখন, $(1, -1, 1)$ বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}Q_{(1, -1, 1)} &= (2(-1)^4 - 2(1)(1)) \hat{i} + 8(1)(-1)^3 \hat{j} - (1)^2 \hat{k} \\ &= (2 - 2) \hat{i} - 8 \hat{j} - 1 \hat{k} \\ &= 0 \hat{i} - 8 \hat{j} - \hat{k} \\ &= -8 \hat{j} - \hat{k} \end{aligned} $$ (ঘ) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত হলো এর কার্ল (Curl) শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ $\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}Q) = 0$। গ হতে প্রাপ্ত, $\vec{\nabla}Q = (2y^4 - 2xz) \hat{i} + (8xy^3) \hat{j} - x^2 \hat{k}$। এখন কার্ল নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}Q) &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2y^4-2xz & 8xy^3 & -x^2 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(-x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(8xy^3) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(-x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(2y^4-2xz) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(8xy^3) - \frac{\partial}{\partial y}(2y^4-2xz) \right) \\ &= \hat{i} (0 - 0) - \hat{j} (-2x - (-2x)) + \hat{k} (8y^3 - 8y^3) \\ &= 0 \hat{i} - 0 \hat{j} + 0 \hat{k} \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}Q) = 0$, তাই $\vec{\nabla}Q$ একটি অঘূর্ণনশীল ভেক্টর। দেখানো হলো।