(ক) যেসব একক ভেক্টরের মান ১ এবং যারা ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার তিনটি পরস্পর লম্ব অক্ষ (x, y ও z অক্ষ) বরাবর ক্রিয়া করে, তাদের আয়ত একক ভেক্টর বলা হয়। x, y ও z অক্ষ বরাবর এই ভেক্টরগুলোকে যথাক্রমে $\hat{i}$, $\hat{j}$ ও $\hat{k}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। (খ) না, দুটি অসম মানের ভেক্টরের লব্ধি কখনো শূন্য হতে পারে না। দুটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হওয়ার জন্য ভেক্টর দুটির মান সমান এবং দিক পরস্পর বিপরীতমুখী হতে হয়। যদি দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর লব্ধি শূন্য হয়, তবে, $$ \begin{aligned} \vec{A} + \vec{B} &= 0 \\ \Rightarrow \vec{A} &= -\vec{B} \end{aligned} $$ অর্থাৎ, ভেক্টর দুটির মান সমান হতে হবে ($|\vec{A}| = |\vec{B}|$) এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ $180^\circ$ হতে হবে। যেহেতু ভেক্টর দুটির মান অসম, তাই তাদের লব্ধি কখনোই শূন্য হবে না। (গ) নদী পার হওয়ার জন্য প্রথম মাঝির নৌকার বেগ $v_b = 15 \text{ m/s}$ এবং স্রোতের বেগ $v_s = 5 \text{ m/s}$। সোজাসুজি ওপারে পৌঁছাতে হলে নৌকার বেগের একটি উপাংশ স্রোতের বেগের সমান ও বিপরীতমুখী হতে হবে। ধরি, স্রোতের দিকের সাথে $\theta$ কোণে নৌকা চালাতে হবে। শর্তমতে, $$ \begin{aligned} v_b \cos \theta &= -v_s \\ 15 \cos \theta &= -5 \\ \cos \theta &= -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109.47^\circ \end{aligned} $$ সুতরাং, প্রথম মাঝিকে স্রোতের দিকের সাথে $109.47^\circ$ কোণে নৌকা চালাতে হবে। (ঘ) নদীর প্রস্থ $d = 200 \text{ m}$ এবং নৌকার বেগ $v_b = 10 \text{ m/s}$। নদী পার হওয়ার সময় $t = \frac{d}{v_b \sin \alpha}$, যেখানে $\alpha$ হলো স্রোতের সাথে নৌকার বেগের কোণ। দ্বিতীয় মাঝির ক্ষেত্রে, $\alpha_2 = 30^\circ$: $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{200}{10 \sin 30^\circ} \\ &= \frac{200}{10 \times 0.5} = \frac{200}{5} = 40 \text{ s} \end{aligned} $$ তৃতীয় মাঝির ক্ষেত্রে, $\alpha_3 = 150^\circ$: $$ \begin{aligned} t_3 &= \frac{200}{10 \sin 150^\circ} \\ &= \frac{200}{10 \times 0.5} = \frac{200}{5} = 40 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_2 = t_3 = 40 \text{ s}$, তাই দ্বিতীয় ও তৃতীয় মাঝি একই সময়ে নদী পার হতে পারবে।