(ক) কোনো ঘূর্ণনশীল বস্তুর ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক এবং কৌণিক বেগের গুণফলকে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির কৌণিক ভরবেগ বলে। (খ) কাজের সংজ্ঞা অনুযায়ী, বল ও সরণের ডট গুণফল হলো কাজ। গাণিতিকভাবে, $$ W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta $$ এখানে, কাজের মান শূন্য হওয়ার শর্তগুলো হলো: ১. যদি প্রযুক্ত বলের প্রভাবে বস্তুর কোনো সরণ না ঘটে, অর্থাৎ $s = 0$ হয়, তবে কাজ $W = 0$ হবে। ২. যদি প্রযুক্ত বলের অভিমুখ এবং সরণের অভিমুখ পরস্পর লম্ব হয়, অর্থাৎ $\theta = 90^\circ$ হয়, তবে $\cos 90^\circ = 0$ হওয়ায় কাজ $W = 0$ হবে। (গ) এখানে, প্রথম সাঁতারুর বেগ, $v = 6 \text{ km h}^{-1}$ স্রোতের বেগ, $u = 3 \text{ km h}^{-1}$ সাঁতারু স্রোতের প্রতিকূলের সাথে $60^\circ$ কোণে সাঁতার কাটলে, স্রোতের সাথে তার মধ্যবর্তী কোণ হবে $\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$। প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ $R$ হলে, $$ \begin{aligned} R &= \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha} \\ &= \sqrt{3^2 + 6^2 + 2 \times 3 \times 6 \times \cos 120^\circ} \\ &= \sqrt{9 + 36 + 36 \times (-0.5)} \\ &= \sqrt{45 - 18} \\ &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3} \text{ km h}^{-1} \approx 5.196 \text{ km h}^{-1} \end{aligned} $$ (ঘ) নদীর প্রস্থ, $d = 1 \text{ km}$। প্রথম সাঁতারুর ক্ষেত্রে, স্রোতের সাথে কোণ $\alpha = 120^\circ$। নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হলে, $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{d}{v \sin \alpha} \\ &= \frac{1}{6 \sin 120^\circ} \\ &= \frac{1}{6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{1}{3\sqrt{3}} \text{ h} \approx 0.192 \text{ h} \end{aligned} $$ দ্বিতীয় সাঁতারুর ক্ষেত্রে, আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটলে স্রোতের সাথে কোণ $\alpha = 90^\circ$। নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t_2$ হলে, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{d}{v \sin 90^\circ} \\ &= \frac{1}{6 \times 1} \\ &= 0.167 \text{ h} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_2 < t_1$, তাই দ্বিতীয় সাঁতারু আগে নদী পার হতে পারবে।