(ক) দুটি ভেক্টরের যে গুণনে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায় এবং এর মান ঐ ভেক্টরদ্বয়ের মান ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের কোসাইন (cosine)-এর গুণফলের সমান হয়, তাকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলে। (খ) প্রাসের গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগের কেবল অনুভূমিক উপাংশ বিদ্যমান থাকে, কিন্তু উল্লম্ব উপাংশের মান শূন্য হয়। এই নির্দিষ্ট বিন্দুতে বেগের মান এক মাত্রিক। তবে প্রাসের গতিপথের অন্য সকল বিন্দুতে বেগের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উভয় উপাংশই বিদ্যমান থাকে, যার ফলে বস্তুটি একই সাথে অনুভূমিক ও উল্লম্ব দিকে অগ্রসর হয়। তাই সর্বোচ্চ বিন্দু ব্যতীত প্রাসের গতি দ্বিমাত্রিক। (গ) এখানে, স্রোতের বেগ, $v_r = 8 \text{ ms}^{-1}$ নৌকার বেগ, $v_b = 10 \text{ ms}^{-1}$ ধরি, স্রোতের বেগের সাথে নৌকাটি $\theta = 90^\circ$ কোণে যাত্রা শুরু করে। স্রোতের বেগের সাথে নৌকার বেগের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{v_b \sin \alpha}{v_r + v_b \cos \alpha} \\ \tan 90^\circ &= \frac{10 \sin \alpha}{8 + 10 \cos \alpha} \\ \infty &= \frac{10 \sin \alpha}{8 + 10 \cos \alpha} \end{aligned} $$ যেহেতু $\tan 90^\circ$ অসংজ্ঞায়িত, তাই হর শূন্য হবে: $$ \begin{aligned} 8 + 10 \cos \alpha &= 0 \\ 10 \cos \alpha &= -8 \\ \cos \alpha &= -0.8 \\ \alpha &= \cos^{-1}(-0.8) \\ \alpha &= 143.13^\circ \end{aligned} $$ অতএব, নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে $143.13^\circ$ কোণে চালনা করতে হয়েছিল। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 200 \text{ m}$ নৌকার বেগ, $v_b = 10 \text{ ms}^{-1}$ স্রোতের বেগ, $v_r = 8 \text{ ms}^{-1}$ নৌকাটি সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাতে লব্ধি বেগ হবে, $$ \begin{aligned} v &= \sqrt{v_b^2 - v_r^2} \\ &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= \sqrt{100 - 64} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \text{ ms}^{-1} \end{aligned} $$ প্রয়োজনীয় সময়, $t$ হলে, $$ \begin{aligned} t &= \frac{d}{v} \\ &= \frac{200}{6} \\ &= 33.33 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $33.33 \text{ s} > 30 \text{ s}$, তাই নৌকাটি সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে ৩০ সেকেন্ডের বেশি সময় লেগেছিল।