(ক) প্রবাহী বা তরলের যে ধর্মের জন্য এর বিভিন্ন স্তরের মধ্যকার আপেক্ষিক গতির বিপরীতে স্পর্শকীয় বাধার সৃষ্টি হয়, তাকে প্রবাহীর সান্দ্রতা বলে। (খ) ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হলে ব্যাগটি টানার সময় ভূমির সাথে হাতলের উৎপন্ন কোণ $\theta$ এর মান কম হয়। আমরা জানি, বলের অনুভূমিক উপাংশ $F \cos \theta$। যেহেতু $\theta$ এর মান কম হলে $\cos \theta$ এর মান বৃদ্ধি পায়, তাই হাতল লম্বা রাখলে ভূমি বরাবর কার্যকর বলের মান বেশি পাওয়া যায়। ফলে ব্যাগটি সহজে টেনে নেওয়া সম্ভব হয়। (গ) এখানে, প্রথম সাঁতারুর বেগ, $v = 10 \text{ km/h}$ স্রোতের বেগ, $u = 5 \text{ km/h}$ প্রথম সাঁতারু স্রোতের প্রতিকূলের সাথে $60^\circ$ কোণে রওনা দেয়। স্রোতের দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ, $$ \begin{aligned} \alpha &= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \end{aligned} $$ প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ $R_1$ হলে, $$ \begin{aligned} R_1 &= \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha} \\ &= \sqrt{5^2 + 10^2 + 2 \times 5 \times 10 \times \cos 120^\circ} \\ &= \sqrt{25 + 100 + 100 \times (-0.5)} \\ &= \sqrt{125 - 50} \\ &= \sqrt{75} \\ &= 8.66 \text{ km/h} \end{aligned} $$ অতএব, প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ $8.66 \text{ km/h}$। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ $s = 2 \text{ km}$। প্রথম সাঁতারুর ক্ষেত্রে: লব্ধি বেগ $R_1 = 8.66 \text{ km/h}$। নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{s}{R_1} = \frac{2}{8.66} \approx 0.231 \text{ h} \end{aligned} $$ দ্বিতীয় সাঁতারুর ক্ষেত্রে: বেগ $v_2 = 15 \text{ km/h}$, স্রোতের বেগ $u = 5 \text{ km/h}$ এবং আড়াআড়িভাবে সাঁতার শুরু করায় $\alpha = 90^\circ$। লব্ধি বেগ, $$ \begin{aligned} R_2 &= \sqrt{u^2 + v_2^2 + 2uv_2 \cos 90^\circ} \\ &= \sqrt{5^2 + 15^2 + 0} \\ &= \sqrt{250} \approx 15.81 \text{ km/h} \end{aligned} $$ সাঁতারুর গতির দিক স্রোতের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{v_2 \sin 90^\circ}{u + v_2 \cos 90^\circ} = \frac{15}{5} = 3 \\ \theta &= \tan^{-1}(3) \approx 71.57^\circ \end{aligned} $$ নদী পার হওয়ার সময়, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{s}{v_2 \sin \theta} = \frac{2}{15 \sin 71.57^\circ} = \frac{2}{15 \times 0.9487} \approx 0.141 \text{ h} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_2 < t_1$, তাই দ্বিতীয় সাঁতারু আগে নদী পার হবে এবং প্রতিযোগিতায় জয়ী হবে।