(ক) একটি ভেক্টরের শীর্ষবিন্দু ও পাদবিন্দু থেকে অপর একটি ভেক্টরের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্বকে প্রথম ভেক্টরের ওপর দ্বিতীয় ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ বলে। (খ) পাখি ওড়ার ক্ষেত্রে ভেক্টর যোজননীতি কার্যকর। পাখি যখন আকাশে ওড়ে, তখন তার ডানা বাতাসের ওপর তির্যকভাবে বল প্রয়োগ করে। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী, বাতাসও পাখির ডানার ওপর সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করে। এই প্রতিক্রিয়া বলের একটি উপাংশ পাখিকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায় এবং অন্য উপাংশটি পাখির ওজনকে ভারসাম্যপূর্ণ করে। এই বলগুলোর লব্ধিই পাখিকে সামনের দিকে এগিয়ে যেতে সাহায্য করে, যা ভেক্টর যোজনের একটি বাস্তব উদাহরণ। (গ) দেওয়া আছে, নদীর প্রস্থ, $d = 2 \text{ km} = 2000 \text{ m}$ স্রোতহীন অবস্থায় নদী পার হতে সময়, $t = 5 \text{ min } 20 \text{ s} = 320 \text{ s}$ স্রোতের বেগ, $v = 3 \text{ m s}^{-1}$ অনিলের সাঁতারের বেগ, $u$ হলে, $$ \begin{aligned} u &= \frac{d}{t} \\ &= \frac{2000}{320} \text{ m s}^{-1} \\ &= 6.25 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ অনিল যখন স্রোতযুক্ত নদীতে সাঁতার কাটবে, তখন তার লব্ধি বেগ $w$ হবে স্রোতের বেগ ও তার নিজস্ব বেগের ভেক্টর যোগফল। লব্ধি বেগের মান, $$ \begin{aligned} w &= \sqrt{u^2 + v^2} \\ &= \sqrt{6.25^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{39.0625 + 9} \\ &= \sqrt{48.0625} \\ &= 6.933 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ অতএব, অনিল প্রকৃতপক্ষে $6.933 \text{ m s}^{-1}$ বেগে যাবে। (ঘ) ধরি, অনিল স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে সাঁতার শুরু করলে সোজাসুজি অপর তীরে পৌঁছাতে পারবে। এখানে লব্ধি বেগের দিক নদীর প্রস্থ বরাবর অর্থাৎ স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে হতে হবে। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{u \sin \alpha}{v + u \cos \alpha} \end{aligned} $$ যেহেতু সোজাসুজি পার হতে হবে, তাই $\theta = 90^\circ$। সুতরাং, $$ \begin{aligned} \tan 90^\circ &= \frac{u \sin \alpha}{v + u \cos \alpha} \\ \Rightarrow \frac{1}{0} &= \frac{u \sin \alpha}{v + u \cos \alpha} \\ \Rightarrow v + u \cos \alpha &= 0 \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} 3 + 6.25 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow 6.25 \cos \alpha &= -3 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -\frac{3}{6.25} \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(-0.48) \\ \Rightarrow \alpha &= 118.68^\circ \end{aligned} $$ অতএব, অনিলকে স্রোতের সাথে $118.68^\circ$ কোণে সাঁতার কাটতে হবে।