(ক) প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে যে ভেক্টরের সাহায্যে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে। (খ) হ্যাঁ, $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$ হওয়া সম্ভব। ধরি, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$। শর্তমতে, $$ \begin{aligned} |\vec{A} \times \vec{B}| &= \vec{A} \cdot \vec{B} \\ AB \sin \theta &= AB \cos \theta \\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} &= 1 \\ \tan \theta &= 1 \\ \theta &= 45^\circ \end{aligned} $$ সুতরাং, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $45^\circ$ হলে উদ্দীপকের শর্তটি সঠিক হতে পারে। (গ) এখানে, স্রোতের বেগ, $u = 2 \text{ m s}^{-1}$ নৌকার বেগ, $v = 6 \text{ m s}^{-1}$ স্রোত ও নৌকার মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 70^\circ$ লব্ধি বেগ $R$ হলে, $$ \begin{aligned} R &= \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha} \\ &= \sqrt{2^2 + 6^2 + 2 \times 2 \times 6 \cos 70^\circ} \\ &= \sqrt{4 + 36 + 24 \times 0.3420} \\ &= \sqrt{40 + 8.208} \\ &= \sqrt{48.208} \\ &= 6.943 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ অতএব, নৌকার লব্ধি বেগ $6.943 \text{ m s}^{-1}$। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ বাসের বেগ, $v_b = 4 \text{ m s}^{-1}$ স্রোতের বেগ, $u = 2 \text{ m s}^{-1}$ নৌকার বেগ, $v = 6 \text{ m s}^{-1}$ স্রোতের সাথে নৌকার কোণ, $\alpha = 70^\circ$ নদী পার হতে নৌকার প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হলে, $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{d}{v \sin \alpha} \\ &= \frac{1000}{6 \sin 70^\circ} \\ &= \frac{1000}{6 \times 0.9397} \\ &= 177.37 \text{ s} \end{aligned} $$ নৌকাটি স্রোতের দিকে যে দূরত্ব অতিক্রম করবে, তা হলো, $$ \begin{aligned} x &= (u + v \cos \alpha) \times t_1 \\ &= (2 + 6 \cos 70^\circ) \times 177.37 \\ &= (2 + 6 \times 0.3420) \times 177.37 \\ &= (2 + 2.052) \times 177.37 \\ &= 4.052 \times 177.37 \\ &= 718.7 \text{ m} \end{aligned} $$ বাসটির ঐ দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় $t_2$ হলে, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{x}{v_b} \\ &= \frac{718.7}{4} \\ &= 179.675 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_1 < t_2$, অর্থাৎ বাসটি গন্তব্যে পৌঁছানোর আগেই লোকটি নদী পার হয়ে তীরে পৌঁছে যাবে। তাই লোকটির পক্ষে বাসটি ধরা সম্ভব।