(ক) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে একটি ক্ষুদ্র আবদ্ধ তলের চারদিকে ভেক্টরটির লাইন ইন্টিগ্রালের মান প্রতি একক ক্ষেত্রফলে সর্বোচ্চ হলে, তাকে উক্ত বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) বলে। (খ) দুটি অসমান বলের লব্ধি শূন্য হতে পারে না। লব্ধি শূন্য হওয়ার শর্ত হলো বল দুটির মান সমান হতে হবে এবং তাদের দিক পরস্পরের বিপরীতমুখী হতে হবে। যদি বল দুটি অসমান হয়, তবে তারা বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলেও তাদের লব্ধির মান শূন্য হবে না। এক্ষেত্রে লব্ধি বলের মান হবে বৃহত্তর বল ও ক্ষুদ্রতর বলের পার্থক্যের সমান এবং লব্ধি বলটি বৃহত্তর বলের দিকে ক্রিয়া করবে। (গ) এখানে, নৌকার বেগ, $u = 12 \text{ km h}^{-1}$ স্রোতের বেগ, $v = 4 \text{ km h}^{-1}$ স্রোতের সাথে নৌকার যাত্রাপথের কোণ, $\alpha = 90^\circ$ ধরি, স্রোতের বেগের সাথে লব্ধি বেগের কোণ $\theta$। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{u \sin \alpha}{v + u \cos \alpha} \\ &= \frac{12 \sin 90^\circ}{4 + 12 \cos 90^\circ} \\ &= \frac{12 \times 1}{4 + 12 \times 0} \\ &= \frac{12}{4} = 3 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \theta &= \tan^{-1}(3) \\ &= 71.57^\circ \end{aligned} $$ অতএব, পাল না তুললে লোকটি স্রোতের বেগের সাথে $71.57^\circ$ কোণে অপর পাড়ে পৌঁছাত। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 10 \text{ km}$ নৌকার বেগ, $u = 12 \text{ km h}^{-1}$ বাতাসের বেগ, $v_a = 20 \text{ km h}^{-1}$ প্রথম $10$ মিনিটে নৌকাটি অতিক্রান্ত দূরত্ব, $$ \begin{aligned} t_1 &= 10 \text{ min} = \frac{10}{60} \text{ h} = \frac{1}{6} \text{ h} \\ d_1 &= u \times t_1 = 12 \times \frac{1}{6} = 2 \text{ km} \end{aligned} $$ অবশিষ্ট দূরত্ব, $d_2 = 10 - 2 = 8 \text{ km}$। পাল তোলার পর নৌকার নতুন বেগ, $$ \begin{aligned} u' &= u + (40\% \text{ of } v_a) \\ &= 12 + (20 \times 0.40) \\ &= 12 + 8 = 20 \text{ km h}^{-1} \end{aligned} $$ অবশিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{d_2}{u'} = \frac{8}{20} \text{ h} \\ &= 0.4 \text{ h} = 0.4 \times 60 \text{ min} = 24 \text{ min} \end{aligned} $$ মোট সময়, $T = t_1 + t_2 = 10 + 24 = 34 \text{ min}$। যেহেতু মোট সময় $34 \text{ min}$, যা $30 \text{ min}$-এর চেয়ে বেশি, তাই মাঝি নিরাপদ স্থানে সঠিক সময়ে পৌঁছাতে সক্ষম হবে না।