(ক) যে দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের মান সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী, তাদের একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ বা বিপরীত ভেক্টর বলা হয়। যেমন: $\vec{A}$ এবং $-\vec{A}$ দুটি বিপ্রতীপ ভেক্টর। (খ) ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রটি হলো: যদি কোনো সামান্তরিকের একটি কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা একই সময়ে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করা যায়, তবে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করবে। (গ) এখানে, স্রোতের বেগ, $v = 9 \text{ ms}^{-1}$ নৌকার বেগ, $u = 12 \text{ ms}^{-1}$ নৌকাটি আড়াআড়িভাবে পার হতে চাইলে লব্ধি বেগ স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে থাকবে। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{u \sin \alpha}{v + u \cos \alpha} \\ \Rightarrow \tan 90^\circ &= \frac{12 \sin \alpha}{9 + 12 \cos \alpha} \\ \Rightarrow \infty &= \frac{12 \sin \alpha}{9 + 12 \cos \alpha} \end{aligned} $$ যেহেতু $\tan 90^\circ$ অসংজ্ঞায়িত, তাই হর শূন্য হবে: $$ \begin{aligned} 9 + 12 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -\frac{9}{12} \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -0.75 \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(-0.75) \\ \Rightarrow \alpha &= 138.59^\circ \end{aligned} $$ অতএব, $\alpha$ কোণের মান $138.59^\circ$। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 1.5 \text{ km} = 1500 \text{ m}$ নৌকার বেগ, $u = 12 \text{ ms}^{-1}$ স্রোতের বেগ, $v = 9 \text{ ms}^{-1}$ আড়াআড়িভাবে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে লব্ধি বেগ, $w = \sqrt{u^2 - v^2}$ (যেহেতু লব্ধি আড়াআড়ি বা $90^\circ$ কোণে থাকে) $$ \begin{aligned} w &= \sqrt{12^2 - 9^2} \\ &= \sqrt{144 - 81} \\ &= \sqrt{63} \approx 7.937 \text{ ms}^{-1} \end{aligned} $$ আড়াআড়িভাবে পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t_1$: $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{d}{w} = \frac{1500}{7.937} \approx 189.00 \text{ s} \end{aligned} $$ যদি মাঝি স্রোতের সাথে লম্বভাবে অর্থাৎ $\alpha = 90^\circ$ কোণে রওনা দিতেন, তবে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t_2$: $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{d}{u} = \frac{1500}{12} = 125 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_1 > t_2$, তাই আড়াআড়িভাবে রওনা দিলে নদী পার হতে সময় বেশি লাগবে। অর্থাৎ সময়ের পরিবর্তন হবে।