(ক) কোনো কণার আদি অবস্থান ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্বকে তার সরণ ভেক্টর বলে। (খ) দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই রেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলা হয়। সমরেখ হওয়ার জন্য ভেক্টরগুলোর দিক একই দিকে বা বিপরীত দিকে হতে পারে। কিন্তু দুটি ভেক্টর সমান হওয়ার শর্ত হলো তাদের মান ও দিক উভয়ই একই হতে হবে। যেহেতু সমরেখ ভেক্টরগুলোর মান ভিন্ন হতে পারে এবং দিক বিপরীতমুখীও হতে পারে, তাই সকল সমরেখ ভেক্টর সমান নয়। (গ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 15 \text{ km}$ স্রোতের বেগ, $v = 5 \text{ km h}^{-1}$ ১ম মাঝির নৌকার বেগ, $u_1 = 10 \text{ km h}^{-1}$ স্রোতের সাথে ১ম মাঝির নৌকার মধ্যবর্তী কোণ $= \alpha$ ১ম মাঝি সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাতে চাইলে, তার লব্ধি বেগ স্রোতের দিকের সাথে $90^\circ$ কোণ উৎপন্ন করবে। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{u_1 \sin \alpha}{v + u_1 \cos \alpha} \\ \tan 90^\circ &= \frac{10 \sin \alpha}{5 + 10 \cos \alpha} \\ \frac{1}{0} &= \frac{10 \sin \alpha}{5 + 10 \cos \alpha} \\ \Rightarrow 5 + 10 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow 10 \cos \alpha &= -5 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -0.5 \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(-0.5) = 120^\circ \end{aligned} $$ অতএব, $\alpha$ কোণের মান $120^\circ$ হলে ১ম মাঝি সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাবে। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 15 \text{ km}$ স্রোতের বেগ, $v = 5 \text{ km h}^{-1}$ ১ম মাঝির নৌকার বেগ, $u_1 = 10 \text{ km h}^{-1}$ ২য় মাঝির নৌকার বেগ, $u_2 = 10 \text{ km h}^{-1}$ ১ম মাঝির ক্ষেত্রে, স্রোতের সাথে $\alpha = 120^\circ$ কোণে যাত্রা করলে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হয়, $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{d}{u_1 \sin \alpha} \\ &= \frac{15}{10 \sin 120^\circ} \\ &= \frac{15}{10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{15}{5\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ h} \end{aligned} $$ ২য় মাঝির ক্ষেত্রে, স্রোতের সাথে $\beta = 90^\circ$ কোণে যাত্রা করলে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t_2$ হয়, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{d}{u_2 \sin \beta} \\ &= \frac{15}{10 \sin 90^\circ} \\ &= \frac{15}{10 \times 1} = 1.5 \text{ h} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_2 < t_1$, তাই ২য় মাঝির নদী পার হতে ১ম মাঝির চেয়ে কম সময় লাগবে। সুতরাং, ২য় মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাবে।