(ক) প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দিয়ে নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে। (খ) ধরা যাক, $\vec{A}, \vec{B}$ ও $\vec{C}$ তিনটি ভেক্টর। ভেক্টরের স্কেলার গুণনের বণ্টন সূত্রটি হলো: $$ \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} $$ প্রমাণ: ধরা যাক, $\vec{A}$ ভেক্টরটি $OP$ রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল। $Q$ ও $R$ বিন্দু থেকে $OP$ রেখার ওপর যথাক্রমে $QM$ ও $RN$ লম্ব অঙ্কন করি। ভেক্টরের স্কেলার গুণনের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $\vec{A} \cdot \vec{B} = A(OM)$ এবং $\vec{A} \cdot \vec{C} = A(MN)$। এখন, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} &= A(OM) + A(MN) \\ &= A(OM + MN) \\ &= A(ON) \\ &= \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) \end{aligned} $$ অর্থাৎ, ভেক্টরের স্কেলার গুণন বণ্টন সূত্র মেনে চলে। (গ) এখানে, স্রোতের বেগ, $u = 2 \text{ m s}^{-1}$ নৌকার বেগ, $v = 6 \text{ m s}^{-1}$ স্রোত ও নৌকার মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 60^\circ$ লব্ধি বেগ $R$ হলে, $$ \begin{aligned} R &= \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha} \\ &= \sqrt{2^2 + 6^2 + 2 \cdot 2 \cdot 6 \cos 60^\circ} \\ &= \sqrt{4 + 36 + 24 \cdot 0.5} \\ &= \sqrt{40 + 12} \\ &= \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ স্রোতের সাথে লব্ধি বেগের দিক $\theta$ হলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ &= \frac{6 \sin 60^\circ}{2 + 6 \cos 60^\circ} \\ &= \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + 6 \cdot 0.5} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{5} \approx 1.039 \\ \theta &= \tan^{-1}(1.039) \approx 46.1^\circ \end{aligned} $$ অতএব, নৌকার লব্ধি বেগ $7.21 \text{ m s}^{-1}$ এবং এটি স্রোতের সাথে $46.1^\circ$ কোণে ক্রিয়াশীল। (ঘ) এখানে, নদীর প্রস্থ, $d = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ বাসের বেগ, $v_b = 5 \text{ m s}^{-1}$ নদী পার হতে নৌকার প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হলে, $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{d}{v \sin \alpha} \\ &= \frac{1000}{6 \sin 60^\circ} \\ &= \frac{1000}{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 192.45 \text{ s} \end{aligned} $$ এই সময়ে নৌকাটি স্রোতের দিকে যে দূরত্ব অতিক্রম করবে, তা হলো: $$ \begin{aligned} x &= (u + v \cos \alpha) \cdot t_1 \\ &= (2 + 6 \cos 60^\circ) \cdot 192.45 \\ &= (2 + 3) \cdot 192.45 \\ &= 5 \cdot 192.45 = 962.25 \text{ m} \end{aligned} $$ বাসটির ঐ দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় $t_2$ হলে, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{x}{v_b} \\ &= \frac{962.25}{5} = 192.45 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_1 = t_2$, তাই লোকটির পক্ষে বাসটি ধরা সম্ভব।