(ক) কার্ল হলো কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণনের সাথে সম্পর্কিত একটি ভেক্টর রাশি, যা ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো একটি বিন্দুর চতুর্দিকে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে ভেক্টরটির সর্বোচ্চ লাইন ইন্টিগ্রাল প্রকাশ করে। (খ) যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে নির্দিষ্ট থাকে এবং ইচ্ছামতো পরিবর্তন করা যায় না, তাকে সীমাবদ্ধ বা লোকাল ভেক্টর (Localised vector) বলে। এখানে, $\vec{r} = 5\hat{i} + 3\hat{j}$ ভেক্টরটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে শুরু হয়েছে। যেহেতু এর পাদবিন্দু প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুতে নির্দিষ্ট, তাই এটি একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর। (গ) ধরি, নৌকার বেগ $v$ এবং স্রোতের বেগ $u$। স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ, $v + u = 20 \text{ kmh}^{-1}$ ... (i) স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ, $v - u = 10 \text{ kmh}^{-1}$ ... (ii) (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, $$ \begin{aligned} 2v &= 30 \\ \Rightarrow v &= 15 \text{ kmh}^{-1} \end{aligned} $$ (i) নং সমীকরণে $v$-এর মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} 15 + u &= 20 \\ \Rightarrow u &= 5 \text{ kmh}^{-1} \end{aligned} $$ নৌকাটিকে সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগের দিক স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে থাকতে হবে। ধরি, নৌকাটি স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে চালনা করতে হবে। $$ \begin{aligned} \tan 90^\circ &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ \Rightarrow \infty &= \frac{15 \sin \alpha}{5 + 15 \cos \alpha} \\ \Rightarrow 5 + 15 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109.47^\circ \end{aligned} $$ সুতরাং, নৌকাটিকে স্রোতের সাথে $109.47^\circ$ কোণে চালনা করতে হবে। (ঘ) নদীর প্রস্থ $d$ হলে, ১ম ক্ষেত্রে, সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়, $$ \begin{aligned} t_1 &= \frac{d}{v \sin \alpha} = \frac{d}{15 \sin 109.47^\circ} = \frac{d}{15 \times 0.9428} \approx \frac{d}{14.14} \end{aligned} $$ ২য় ক্ষেত্রে, নৌকাটি যদি $A$ বিন্দু হতে সোজাসুজি (অর্থাৎ স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে) রওয়ানা করে, তবে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{d}{v \sin 90^\circ} = \frac{d}{15 \times 1} = \frac{d}{15} \end{aligned} $$ যেহেতু $14.14 < 15$, তাই $t_2 < t_1$। অর্থাৎ, নৌকাটি সোজাসুজি রওয়ানা করলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে কম সময় লাগবে।