(ক) কোনো ভেক্টরকে যদি একটি নির্দিষ্ট দিক বরাবর ধনাত্মক ধরা হয়, তবে তার বিপরীত দিকে সমমানের ও সমজাতীয় ভেক্টরটিই হলো ওই ভেক্টরের ঋণাত্মক ভেক্টর। (খ) দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর ভেক্টর গুণফল বা ক্রস গুণফলকে $\vec{A} \times \vec{B}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর মান হলো: $$ \begin{aligned} |\vec{A} \times \vec{B}| &= AB \sin \theta \end{aligned} $$ এখানে, $A$ ও $B$ হলো ভেক্টরদ্বয়ের মান এবং $\theta$ হলো তাদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণ ($0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$)। এই গুণফলের দিক একটি একক ভেক্টর $\hat{n}$ দ্বারা নির্দেশিত হয়, যা $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থিত তার ওপর লম্ব। ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুযায়ী, $\vec{A}$ থেকে $\vec{B}$ এর দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে স্ক্রু ঘোরালে তা যেদিকে অগ্রসর হয়, $\vec{A} \times \vec{B}$ এর দিক সেদিকেই হয়। (গ) দেওয়া আছে, স্রোতের বেগ, $u = 6 \text{ km h}^{-1}$ সাঁতারুর বেগ, $v = 8 \text{ km h}^{-1}$ সাঁতারু নদী সোজাসুজি পার হতে চাইলে, স্রোতের সাথে লব্ধি বেগের কোণ $\theta = 90^\circ$ হতে হবে। ধরি, স্রোতের সাথে সাঁতারুর বেগের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ \Rightarrow \tan 90^\circ &= \frac{8 \sin \alpha}{6 + 8 \cos \alpha} \\ \Rightarrow \infty &= \frac{8 \sin \alpha}{6 + 8 \cos \alpha} \end{aligned} $$ যেহেতু $\tan 90^\circ$ অসংজ্ঞায়িত, তাই হর শূন্য হবে: $$ \begin{aligned} 6 + 8 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -\frac{6}{8} \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(-0.75) \\ \Rightarrow \alpha &\approx 138.59^\circ \end{aligned} $$ অতএব, স্রোত ও সাঁতারুর বেগের মধ্যবর্তী কোণ প্রায় $138.6^\circ$। (ঘ) সাঁতারু সোজাসুজি নদী পার হলে লব্ধি বেগ $R$ হবে: $$ \begin{aligned} R &= \sqrt{v^2 - u^2} \\ &= \sqrt{8^2 - 6^2} \\ &= \sqrt{64 - 36} \\ &= \sqrt{28} \\ &\approx 5.29 \text{ km h}^{-1} \end{aligned} $$ নদীর প্রস্থ $d = 1 \text{ km}$। সোজাসুজি পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t$ হলে, $$ \begin{aligned} t &= \frac{d}{R} \\ &= \frac{1}{5.29} \text{ h} \\ &\approx 0.189 \text{ h} \\ &= 0.189 \times 60 \text{ min} \\ &\approx 11.34 \text{ min} \end{aligned} $$ যেহেতু $11.34 \text{ min} > 7 \text{ min}$, তাই সাঁতারু নির্ধারিত সময়ের মধ্যে অপর তীরে পৌঁছাতে পারবে না।