(ক) স্ক্রু-গেজ বা অনুরূপ পরিমাপক যন্ত্রের বৃত্তাকার স্কেলের এক ভাগ ঘুরালে রৈখিক স্কেলের ওপর স্ক্রুটি যতটুকু সরে আসে, তাকে ওই যন্ত্রের লঘিষ্ঠ গণন (Least Count) বলে। (খ) দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই রেখা বরাবর অথবা পরস্পর সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করে, তবে তাদের সমরেখ ভেক্টর বলা হয়। সমরেখ ভেক্টরের ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলোর দিক একই বা বিপরীতমুখী হতে পারে। কিন্তু দুটি ভেক্টর সমান হওয়ার শর্ত হলো, তাদের মান ও দিক উভয়ই একই হতে হবে। যেহেতু সমরেখ ভেক্টরের ক্ষেত্রে মান ভিন্ন হতে পারে এবং দিক বিপরীতমুখীও হতে পারে, তাই সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়। (গ) এখানে, স্রোতের বেগ, $u = 10 \text{ km h}^{-1}$ নৌকার বেগ, $v = 20 \text{ km h}^{-1}$ নদীর প্রস্থ, $d = 3 \text{ km}$ সাদা নাবিক OB বরাবর রওনা দিয়ে নদী পার হন। ধরি, স্রোতের সাথে নৌকার বেগের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। যেহেতু নৌকাটি OB বরাবর (স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে) পৌঁছায়, তাই লব্ধি বেগ স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। $$ \begin{aligned} \tan 90^\circ &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ \Rightarrow \infty &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ \Rightarrow u + v \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow 10 + 20 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -\frac{10}{20} = -0.5 \\ \Rightarrow \alpha &= 120^\circ \end{aligned} $$ নৌকার লব্ধি বেগ, $R = \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha}$ $$ \begin{aligned} R &= \sqrt{10^2 + 20^2 + 2 \times 10 \times 20 \times \cos 120^\circ} \\ &= \sqrt{100 + 400 + 400 \times (-0.5)} \\ &= \sqrt{500 - 200} = \sqrt{300} = 17.32 \text{ km h}^{-1} \end{aligned} $$ নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $$ \begin{aligned} t &= \frac{d}{R} = \frac{3}{17.32} \text{ h} \\ &= 0.1732 \text{ h} \approx 10.39 \text{ min} \end{aligned} $$ (ঘ) হলুদ নাবিক OA বরাবর রওনা দিয়ে B বিন্দুতে পৌঁছান। এখানে OA হলো নৌকার লব্ধি বেগের দিক। স্রোতের সাথে OA এর কোণ $90^\circ$ হলে, নৌকার বেগের দিক $\alpha$ হলে, $$ \begin{aligned} \tan 90^\circ &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ \Rightarrow u + v \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow 10 + 20 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \alpha &= 120^\circ \end{aligned} $$ নৌকার লব্ধি বেগ, $R = \sqrt{10^2 + 20^2 + 2 \times 10 \times 20 \times \cos 120^\circ} = 17.32 \text{ km h}^{-1}$। বৃষ্টির বেগ $v_r = 30 \text{ km h}^{-1}$ খাড়া নিচের দিকে পড়ছে। নাবিক সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_b$। উল্লম্বের সাথে ছাতার কোণ $\theta$ হলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{R}{v_r} = \frac{17.32}{30} \\ \Rightarrow \theta &= \tan^{-1}(0.577) \approx 30^\circ \end{aligned} $$ অতএব, হলুদ নাবিক উলম্বের সাথে $30^\circ$ কোণে ছাতা ধরলে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবেন।