(ক) তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলকে স্কেলার ত্রিগুণন বলা হয়। অর্থাৎ, তিনটি ভেক্টর $\vec{A}, \vec{B}$ এবং $\vec{C}$ এর ক্ষেত্রে স্কেলার ত্রিগুণন হলো $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$। (খ) কার্লের ভৌত তাৎপর্য নিচে দেওয়া হলো: ১. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি। ২. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হয়। অর্থাৎ, $\vec{\nabla} \times \vec{A} = 0$ হলে $\vec{A}$ অঘূর্ণনশীল। ৩. কোনো ঘূর্ণনশীল বস্তুর রৈখিক বেগের কার্ল বস্তুটির কৌণিক বেগের দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ $\vec{\nabla} \times \vec{v} = 2\vec{\omega}$। ৪. কোনো বল বা ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল হয়। কার্ল শূন্য না হলে ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল বা অসংরক্ষণশীল হয়। (গ) দেওয়া আছে, $$ \vec{A} = (6xy + z^3)\hat{i} + (3x^2 - 2z)\hat{j} + (3xyz + x^2y)\hat{k} $$ কার্ল নির্ণয়ের জন্য, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{A} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & 3x^2-2z & 3xyz+x^2y \end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial y}(3xyz+x^2y) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2-2z) \right)\hat{i} \\ &\quad + \left( \frac{\partial}{\partial z}(6xy+z^3) - \frac{\partial}{\partial x}(3xyz+x^2y) \right)\hat{j} \\ &\quad + \left( \frac{\partial}{\partial x}(3x^2-2z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy+z^3) \right)\hat{k} \\ &= (3xz + x^2 - (-2))\hat{i} + (3z^2 - (3yz + 2xy))\hat{j} + (6x - 6x)\hat{k} \\ &= (3xz + x^2 + 2)\hat{i} + (3z^2 - 3yz - 2xy)\hat{j} + 0\hat{k} \end{aligned} $$ এখন ডাইভারজেন্স নির্ণয় করি, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) &= \frac{\partial}{\partial x}(3xz + x^2 + 2) + \frac{\partial}{\partial y}(3z^2 - 3yz - 2xy) + \frac{\partial}{\partial z}(0) \\ &= (3z + 2x) + (-3z - 2x) + 0 \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু ডাইভারজেন্স শূন্য, তাই গাণিতিকভাবে $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = 0$ সম্ভব। (ঘ) (১, -২, ১) বিন্দুতে কার্ল: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{A} &= (3(1)(1) + 1^2 + 2)\hat{i} + (3(1)^2 - 3(-2)(1) - 2(1)(-2))\hat{j} \\ &= (3 + 1 + 2)\hat{i} + (3 + 6 + 4)\hat{j} \\ &= 6\hat{i} + 13\hat{j} \end{aligned} $$ যেহেতু কার্ল শূন্য নয়, তাই ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল। ডাইভারজেন্স নির্ণয়: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} &= \frac{\partial}{\partial x}(6xy + z^3) + \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 2z) + \frac{\partial}{\partial z}(3xyz + x^2y) \\ &= 6y + 0 + 3xy \\ &= 3xy + 6y \end{aligned} $$ (১, -২, ১) বিন্দুতে ডাইভারজেন্স: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} &= 3(1)(-2) + 6(-2) \\ &= -6 - 12 \\ &= -18 \end{aligned} $$