(ক) কোনো বস্তুকে পৃথিবী বা অন্য কোনো গ্রহের মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র থেকে অসীমে পাঠানোর জন্য যে সর্বনিম্ন বেগের প্রয়োজন হয়, তাকে মুক্তিবেগ বলে। (খ) মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে বিভব হলো অসীম থেকে একক ভরের কোনো বস্তুকে ওই বিন্দুতে আনতে সম্পন্ন কাজের পরিমাণ। যেহেতু মহাকর্ষীয় বল একটি আকর্ষণধর্মী বল, তাই অসীম থেকে কোনো বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের ভেতরে আনতে মহাকর্ষীয় বলের দিকেই কাজ সম্পন্ন হয়, অর্থাৎ বলের অভিমুখে সরণ ঘটে। মহাকর্ষীয় বলের বিরুদ্ধে কাজ না করে বলের অভিমুখে কাজ সম্পন্ন হওয়ায় কৃতকাজের মান ঋণাত্মক হয়। তাই মহাকর্ষীয় বিভব ঋণাত্মক। (গ) উদ্দীপক হতে পাই, পৃথিবীর ব্যাস, $D_e = 13 \times 10^3 \text{ km} = 1.3 \times 10^7 \text{ m}$ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R_e = 6.5 \times 10^3 \text{ km} = 6.5 \times 10^6 \text{ m}$ মঙ্গলের ব্যাস, $D_m = 6.9 \times 10^3 \text{ km} = 6.9 \times 10^6 \text{ m}$ মঙ্গলের ব্যাসার্ধ, $R_m = 3.45 \times 10^3 \text{ km} = 3.45 \times 10^6 \text{ m}$ মঙ্গলের ভর, $M_m = 0.11 M_e$ পৃথিবীর ভর, $M_e = 6 \times 10^{24} \text{ kg}$ মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ মঙ্গলের অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_m$ হলে, $$ \begin{aligned} g_m &= \frac{G M_m}{R_m^2} \\ &= \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 0.11 \times 6 \times 10^{24}}{(3.45 \times 10^6)^2} \\ &= \frac{4.404 \times 10^{13}}{1.190 \times 10^{13}} \\ &\approx 3.70 \text{ ms}^{-2} \end{aligned} $$ সুতরাং, মঙ্গলের অভিকর্ষীয় ত্বরণ $3.70 \text{ ms}^{-2}$। (ঘ) ধরি, কোনো গ্রহের ভর $M$, ব্যাসার্ধ $R$ এবং ওই গ্রহের পৃষ্ঠ হতে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগ $v$। আমরা জানি, মুক্তিবেগের সমীকরণ: $$ v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$ এখানে, $G$ হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক। এই সমীকরণে $M$ হলো গ্রহের ভর এবং $R$ হলো গ্রহের ব্যাসার্ধ। সমীকরণটিতে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভর $m$-এর কোনো উপস্থিতি নেই। অর্থাৎ, কোনো গ্রহের মুক্তিবেগ নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভরের ওপর নির্ভর করে না। এখন, মঙ্গলের মুক্তিবেগ $v_m$ নির্ণয় করি: উদ্দীপক হতে পাই, মঙ্গলের ব্যাসার্ধ, $R_m = 3.45 \times 10^6 \text{ m}$ মঙ্গলের ভর, $M_m = 0.11 \times 6 \times 10^{24} \text{ kg} = 6.6 \times 10^{23} \text{ kg}$ মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ মঙ্গলের মুক্তিবেগ, $$ \begin{aligned} v_m &= \sqrt{\frac{2 G M_m}{R_m}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 6.673 \times 10^{-11} \times 6.6 \times 10^{23}}{3.45 \times 10^6}} \\ &= \sqrt{\frac{8.808 \times 10^{13}}{3.45 \times 10^6}} \\ &= \sqrt{2.553 \times 10^7} \text{ ms}^{-1} \\ &\approx 5052.7 \text{ ms}^{-1} \\ &\approx 5.05 \text{ kms}^{-1} \end{aligned} $$ সুতরাং, মঙ্গলের মুক্তিবেগ $5.05 \text{ kms}^{-1}$। বিকল্প ব্যাখ্যা (যদি প্রশ্নটি গ্রহের ভরের ওপর নির্ভরতা নির্দেশ করে): গ্রহের ঘনত্ব $\rho$ হলে, গ্রহের ভর $M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$। এই মান মুক্তিবেগের সমীকরণে বসালে পাই: $$ \begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3} \\ &= R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho} \end{aligned} $$ এই সমীকরণ থেকে দেখা যায়, মুক্তিবেগ গ্রহের ব্যাসার্ধ ও ঘনত্বের ওপর নির্ভর করে, কিন্তু সরাসরি গ্রহের ভরের ওপর নির্ভর করে না।