(ক) **মহাকর্ষীয় ধ্রুবক:** একক ভরের দুটি বস্তু কণা একক দূরত্বে অবস্থিত থাকলে তাদের মধ্যে যে আকর্ষণ বল ক্রিয়া করে, তার সংখ্যাগত মানকে মহাকর্ষীয় ধ্রুবক বলে। একে $G$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর আদর্শ মান $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2\text{kg}^{-2}$। (খ) মহাকর্ষ সূত্রানুযায়ী পৃথিবী ও চাঁদ একে অপরকে সমপরিমাণ বল দ্বারা আকর্ষণ করে। কিন্তু নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্রানুযায়ী আমরা জানি, ত্বরণ $a = \frac{F}{m}$। যেহেতু পৃথিবীর ভর চাঁদের ভরের তুলনায় অনেক বেশি, তাই একই পরিমাণ বলের জন্য পৃথিবীর ত্বরণ চাঁদের ত্বরণের তুলনায় অত্যন্ত নগণ্য (প্রায় শূন্য) হয়। অন্যদিকে, চাঁদের ভর কম হওয়ায় এর ত্বরণ অনেক বেশি হয়। এই কারণে চাঁদ পৃথিবীকে কেন্দ্র করে ঘোরে, কিন্তু পৃথিবী চাঁদকে কেন্দ্র করে ঘোরে না। (গ) এখানে দেওয়া আছে, $A$ ও $B$ বিন্দুতে অবস্থিত গোলকদ্বয়ের ভর, $m_A = m_B = 0.26 \text{ kg}$ $P$ বিন্দুতে অবস্থিত বস্তুর ভর, $m_P = 0.01 \text{ kg}$ $A$ ও $B$ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব, $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2\text{kg}^{-2}$ $A$ ও $B$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব $16 \text{ cm}$। ধরি, $AB$ এর মধ্যবিন্দু $C$। অতএব, $AC = BC = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$। $P$ বিন্দুতে বলের ক্রিয়াশীলতার চিত্রটি নিচে দেওয়া হলো: সমকোণী ত্রিভুজ $APC$ হতে পাই, $$ \begin{aligned} PC &= \sqrt{AP^2 - AC^2} \\ &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \end{aligned} $$ ধরি, $PC$ রেখার সাথে $PA$ রেখার উৎপন্ন কোণ $\theta$। $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{AC}{PC} \\ &= \frac{8}{6} \\ \Rightarrow\quad \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \\ \therefore\quad \theta &\approx 53.13^\circ \end{aligned} $$ $A$ ও $P$ বস্তুর মধ্যকার আকর্ষণ বল: $$ \begin{aligned} F_A &= \frac{G m_A m_P}{r^2} \\ &= \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 0.26 \times 0.01}{(0.1)^2} \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ একইভাবে, $B$ ও $P$ বস্তুর মধ্যকার আকর্ষণ বল: $$ \begin{aligned} F_B &= \frac{G m_B m_P}{r^2} \\ &= \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 0.26 \times 0.01}{(0.1)^2} \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ যেহেতু $F_A = F_B$, তাই এদের লব্ধি বল $F$ খাড়া নিচের দিকে $PC$ বরাবর ক্রিয়া করবে। লব্ধি বলের মান: $$ \begin{aligned} F &= 2 F_A \cos \theta \\ &= 2 \times 1.735 \times 10^{-11} \times \cos(53.13^\circ) \\ &= 2 \times 1.735 \times 10^{-11} \times 0.6 \\ &= 2.082 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ অতএব, $0.01 \text{ kg}$ ভরের বস্তুটির উপর প্রযুক্ত লব্ধি বল $2.082 \times 10^{-11} \text{ N}$। (ঘ) পতনশীল বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বলসমূহের দ্বিমাত্রিক চিত্র নিচে অঙ্কন করা হলো: এখানে, $P$ বিন্দুকে মূলবিন্দু বিবেচনা করে বলসমূহের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ নির্ণয় করা হলো। (গ) হতে প্রাপ্ত, $F_A = F_B = 1.735 \times 10^{-11} \text{ N}$ এবং $\theta = 53.13^\circ$। $F_A$ বলের অনুভূমিক উপাংশ: $$ \begin{aligned} F_{Ax} &= F_A \cos(270^\circ - \theta) \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \times \cos(270^\circ - 53.13^\circ) \\ &= -1.735 \times 10^{-11} \times \sin(53.13^\circ) \\ &= -1.39 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ $F_B$ বলের অনুভূমিক উপাংশ: $$ \begin{aligned} F_{Bx} &= F_B \cos(270^\circ + \theta) \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \times \cos(270^\circ + 53.13^\circ) \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \times \sin(53.13^\circ) \\ &= 1.39 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ $\therefore$ মোট অনুভূমিক বল: $$ \begin{aligned} F_x &= F_{Ax} + F_{Bx} \\ &= -1.39 \times 10^{-11} + 1.39 \times 10^{-11} \\ &= 0 \text{ N} \end{aligned} $$ $F_A$ বলের উল্লম্ব উপাংশ: $$ \begin{aligned} F_{Ay} &= F_A \sin(270^\circ - \theta) \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \times \sin(270^\circ - 53.13^\circ) \\ &= -1.735 \times 10^{-11} \times \cos(53.13^\circ) \\ &= -1.04 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ $F_B$ বলের উল্লম্ব উপাংশ: $$ \begin{aligned} F_{By} &= F_B \sin(270^\circ + \theta) \\ &= 1.735 \times 10^{-11} \times \sin(270^\circ + 53.13^\circ) \\ &= -1.735 \times 10^{-11} \times \cos(53.13^\circ) \\ &= -1.04 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ $\dots$ মোট উল্লম্ব বল: $$ \begin{aligned} F_y &= F_{Ay} + F_{By} \\ &= -1.04 \times 10^{-11} - 1.04 \times 10^{-11} \\ &= -2.08 \times 10^{-11} \text{ N} \end{aligned} $$ ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা নির্দেশ করে যে মোট উল্লম্ব বলটি খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়াশীল। অর্থাৎ, মোট উল্লম্ব বলের মান $2.08 \times 10^{-11} \text{ N}$ (নিচের দিকে)।