(ক) **সংরক্ষণশীল বল:** যে বলের দ্বারা কোনো বস্তুকে যেকোনো পথে ঘুরিয়ে পুনরায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরিয়ে আনলে বল কর্তৃক সম্পাদিত মোট কাজ শূন্য হয়, তাকে সংরক্ষণশীল বল বলে। **বলের বিরুদ্ধে কাজ:** কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বলের বিপরীত দিকে যদি বস্তুর সরণ ঘটে, তবে প্রযুক্ত বলের বিপরীতে সম্পন্ন কাজকে বলের বিরুদ্ধে কাজ বলে। **অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ:** যে সংঘর্ষে সংঘর্ষের পূর্বের মোট গতিশক্তি এবং সংঘর্ষের পরের মোট গতিশক্তি সমান থাকে না (অর্থাৎ গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে না), তাকে অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ বলে। (খ) কোনো গতিশীল বস্তুর গতিশক্তি $E_k = \frac{1}{2}mv^2$। গতিশক্তি বৃদ্ধির উপায়গুলো নিচে দেওয়া হলো: ১. **বেগ বৃদ্ধি করে:** বস্তুর ভর ($m$) স্থির রেখে যদি বেগ ($v$) বৃদ্ধি করা হয়, তবে গতিশক্তি বৃদ্ধি পাবে। যেহেতু গতিশক্তি বেগের বর্গের সমানুপাতিক ($E_k \propto v^2$), তাই বেগ দ্বিগুণ করলে গতিশক্তি চারগুণ হবে। ২. **ভর বৃদ্ধি করে:** বস্তুর বেগ ($v$) স্থির রেখে যদি ভর ($m$) বৃদ্ধি করা হয়, তবে গতিশক্তি বৃদ্ধি পাবে, কারণ গতিশক্তি ভরের সমানুপাতিক ($E_k \propto m$)। (গ) এখানে দেওয়া আছে, স্প্রিং ধ্রুবক, $k = 80 \text{ N/m}$ আদি অবস্থান, $x_0 = 0 \text{ m}$ শেষ অবস্থান, $x_1 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ প্রথম ক্ষেত্রে স্প্রিংটি টেনে লম্বা করতে সম্পাদিত কাজ $W_1$ হলে: $$ \begin{aligned} W_1 &= \frac{1}{2} k (x_1^2 - x_0^2) \\ &= \frac{1}{2} \times 80 \times \{(0.04)^2 - 0^2\} \\ &= 40 \times 0.0016 \\ &= 0.064 \text{ J} \end{aligned} $$ অতএব, প্রথম ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর কর্তৃক সম্পাদিত কাজের পরিমাণ ছিল $0.064 \text{ J}$। (ঘ) এখানে দেওয়া আছে, স্প্রিং ধ্রুবক, $k = 80 \text{ N/m}$ প্রথম সরণ, $x_1 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ দ্বিতীয় সরণ, $x_2 = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$ (গ) হতে প্রাপ্ত প্রথম ক্ষেত্রে কৃতকাজ, $W_1 = 0.064 \text{ J}$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কৃতকাজ $W_2$ হলে: $$ \begin{aligned} W_2 &= \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2) \\ &= \frac{1}{2} \times 80 \times \{(0.07)^2 - (0.04)^2\} \\ &= 40 \times (0.0049 - 0.0016) \\ &= 40 \times 0.0033 \\ &= 0.132 \text{ J} \end{aligned} $$ এখন, প্রথম ও দ্বিতীয় ক্ষেত্রের কাজের অনুপাত: $$ \begin{aligned} \frac{W_2}{W_1} &= \frac{0.132}{0.064} \\ &= 2.0625 \\ \Rightarrow\quad W_2 &= 2.0625 \times W_1 \end{aligned} $$ অর্থাৎ, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সম্পাদিত কাজ প্রথম ক্ষেত্রের কাজের তুলনায় প্রায় $2.06$ গুণ। **সরণ বনাম বল লেখচিত্র হতে কাজের হিসাব:** স্প্রিংয়ের ক্ষেত্রে প্রযুক্ত বল ও সরণের সম্পর্ক হলো $F = kx$। যখন সরণ $x_1 = 0.04 \text{ m}$, তখন প্রয়োজনীয় বল $F_1 = 80 \times 0.04 = 3.2 \text{ N}$। যখন সরণ $x_2 = 0.07 \text{ m}$, তখন প্রয়োজনীয় বল $F_2 = 80 \times 0.07 = 5.6 \text{ N}$। সরণ বনাম বলের লেখচিত্রটি নিচে অঙ্কন করা হলো: সরণ বনাম বল লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল কৃতকাজ নির্দেশ করে। ১ম ক্ষেত্রে কৃতকাজ (মূলবিন্দু হতে $0.04 \text{ m}$ সরণের জন্য ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল): $$ \begin{aligned} W_1 &= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} \\ &= \frac{1}{2} \times 0.04 \times 3.2 \\ &= 0.064 \text{ J} \end{aligned} $$ ২য় ক্ষেত্রে কৃতকাজ ($0.04 \text{ m}$ হতে $0.07 \text{ m}$ সরণের জন্য ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল): $$ \begin{aligned} W_2 &= \frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) \times \text{বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব} \\ &= \frac{1}{2} \times (F_1 + F_2) \times (x_2 - x_1) \\ &= \frac{1}{2} \times (3.2 + 5.6) \times (0.07 - 0.04) \\ &= \frac{1}{2} \times 8.8 \times 0.03 \\ &= 0.132 \text{ J} \end{aligned} $$ অতএব, লেখচিত্র হতে প্রাপ্ত কাজের মান গাণিতিক হিসাবের সাথে হুবহু মিলে যায় এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রের কাজ প্রথম ক্ষেত্রের কাজের $2.06$ গুণ।