(ক) প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় বা নির্দেশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। (খ) দুটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও তাদের ডট গুণন শূন্য হতে পারে। দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ হলে, তাদের ডট গুণন হলো: $$ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta $$ এখানে $|\vec{A}| \neq 0$ এবং $|\vec{B}| \neq 0$ হওয়া সত্ত্বেও ডট গুণন শূন্য হবে যদি $\cos \theta = 0$ হয়। অর্থাৎ, ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 90^\circ$ হলে, ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হয় এবং তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। (গ) দেওয়া আছে, $$ \vec{P} = (9xy^2 + 5z) \hat{i} + (4y^2 + 2xz) \hat{j} + (3x^3 + 2y) \hat{k} $$ আমরা জানি, ডাইভারজেন্স হলো: $$ \vec{\nabla} \cdot \vec{P} = \frac{\partial}{\partial x}(9xy^2 + 5z) + \frac{\partial}{\partial y}(4y^2 + 2xz) + \frac{\partial}{\partial z}(3x^3 + 2y) $$ আংশিক অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{P} &= 9y^2 + 8y + 0 \\ &= 9y^2 + 8y \end{aligned} $$ এখন, $(-1, 1, 1)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{P} &= 9(1)^2 + 8(1) \\ &= 9 + 8 \\ &= 17 \end{aligned} $$ অতএব, $(-1, 1, 1)$ বিন্দুতে $\vec{P}$ ভেক্টরের ডাইভারজেন্স $17$। (ঘ) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত হলো এর কার্ল শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ $\vec{\nabla} \times \vec{P} = 0$। $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{P} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 9xy^2 + 5z & 4y^2 + 2xz & 3x^3 + 2y \end{vmatrix} \end{aligned} $$ নির্ণায়কটি বিস্তার করে পাই, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{P} &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(3x^3 + 2y) - \frac{\partial}{\partial z}(4y^2 + 2xz) \right) \\ &\quad - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(3x^3 + 2y) - \frac{\partial}{\partial z}(9xy^2 + 5z) \right) \\ &\quad + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(4y^2 + 2xz) - \frac{\partial}{\partial y}(9xy^2 + 5z) \right) \\ &= \hat{i} (2 - 2x) - \hat{j} (9x^2 - 5) + \hat{k} (2z - 18xy) \end{aligned} $$ যেহেতু $\vec{\nabla} \times \vec{P} \neq 0$, তাই ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল নয়।