(ক) ভূপৃষ্ঠ হতে ন্যূনতম যে বেগে কোনো বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অতিক্রম করে অসীমে চলে যায় এবং আর পৃথিবীতে ফিরে আসে না, সেই বেগকে ওই গ্রহের মুক্তিবেগ বলে। (খ) ভূ-স্থির উপগ্রহের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো হলো: ১. এই উপগ্রহ পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে প্রায় ৩৬,০০০ কিলোমিটার উচ্চতায় ভূ-স্থির কক্ষপথে অবস্থান করে। ২. উপগ্রহটি পৃথিবীর ঘূর্ণনের দিকে অর্থাৎ পশ্চিম থেকে পূর্ব দিকে আবর্তন করে। ৩. এর আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকালের সমান, অর্থাৎ ২৪ ঘণ্টা। ৪. পৃথিবীর সাপেক্ষে উপগ্রহটিকে স্থির মনে হয়। (গ) এখানে, পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}$ পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব, $r = 1.5 \times 10^{8} \text{ km} = 1.5 \times 10^{11} \text{ m}$ আবর্তনকাল, $T = 365 6 = (365 \times 24 + 6) = 8766 $ সেকেন্ডে আবর্তনকাল, $$ \begin{aligned} T &= 8766 \times 3600 \text{ s} \\ &= 3.15576 \times 10^{7} \text{ s} \end{aligned} $$ কৌণিক বেগ, $\omega = \frac{2\pi}{T}$। কেন্দ্রমুখী বল, $F = M\omega^2 r = M \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 r$। মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} F &= 6 \times 10^{24} \times \left( \frac{2 \times 3.1416}{3.15576 \times 10^7} \right)^2 \times 1.5 \times 10^{11} \\ &= 6 \times 10^{24} \times (1.991 \times 10^{-7})^2 \times 1.5 \times 10^{11} \\ &= 3.568 \times 10^{22} \text{ N} \end{aligned} $$ অতএব, পৃথিবীর কেন্দ্রমুখী বল $3.568 \times 10^{22} \text{ N}$। (ঘ) কেপলারের তৃতীয় সূত্রানুসারে, $T^2 \propto r^3$ বা $\frac{T^2}{r^3} = $। এখানে, $r_1 = 1.5 \times 10^{11} \text{ m}$ $T_1 = 365.25 $ $r_2 = \frac{r_1}{2}$ সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} \frac{T_1^2}{r_1^3} &= \frac{T_2^2}{r_2^3} \\ \Rightarrow T_2^2 &= T_1^2 \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 \\ \Rightarrow T_2^2 &= T_1^2 \times \left( \frac{r_1/2}{r_1} \right)^3 \\ \Rightarrow T_2^2 &= T_1^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 \\ \Rightarrow T_2^2 &= \frac{T_1^2}{8} \\ \Rightarrow T_2 &= \frac{T_1}{\sqrt{8}} \\ \Rightarrow T_2 &= \frac{365.25}{2.8284} \\ \Rightarrow T_2 &\approx 129.14 \end{aligned} $$ অর্থাৎ, নতুন দূরত্বে এক বছর হবে প্রায় ১২৯ দিন ৩ ঘণ্টা। মতামত: কেপলারের সূত্র অনুযায়ী, সূর্য থেকে দূরত্ব কমে গেলে আবর্তনকালও কমে যায়। গাণিতিক ফলাফল থেকে দেখা যাচ্ছে, দূরত্ব অর্ধেক করলে আবর্তনকাল প্রায় তিন গুণ কমে যায়, যা মহাকর্ষীয় বল ও গতির সামঞ্জস্য বজায় রাখার জন্য পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মানুযায়ী সঠিক।