(ক) দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে চেষ্টার সংখ্যা $n$ অত্যন্ত বৃহৎ এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা $p$ অত্যন্ত ক্ষুদ্র হলে, যদি গড় $np=m$ একটি সসীম মান নির্দেশ করে, তবে সেই বিন্যাসকে পৈঁসু বিন্যাস (Poisson Distribution) বলা হয়। (খ) পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক হলো: $$P(x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, \infty$$ এখানে $m$ হলো বিন্যাসের পরামিতি। পৈঁসু বিন্যাসের গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই পরামিতি $m$-এর সমান। যেহেতু কোনো দৈব চলকের গড় বা ভেদাঙ্ক ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি $m$ সর্বদাই ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ, $m > 0$। (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী, $P(x=4) = \frac{1}{4} P(x=3)$। আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক $P(x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$। $$\begin{aligned} \frac{e^{-m} m^4}{4!} &= \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{-m} m^3}{3!} \\ \Rightarrow \frac{m^4}{24} &= \frac{1}{4} \cdot \frac{m^3}{6} \\ \Rightarrow \frac{m^4}{24} &= \frac{m^3}{24} \\ \Rightarrow m &= 1 \quad (\text{যেহেতু } m \neq 0) \end{aligned}$$ সুতরাং, সম্ভাবনা অপেক্ষকটি হলো $P(x) = \frac{e^{-1} 1^x}{x!} = \frac{e^{-1}}{x!}$। এখন, $$ \begin{aligned} P(x \geq 1) &= 1 - P(x < 1) \\ &= 1 - P(x = 0) \\ &= 1 - \frac{e^{-1} 1^0}{0!} \\ &= 1 - e^{-1} \approx 1 - 0.3679 = 0.6321 \end{aligned} $$ (ঘ) 'গ' হতে প্রাপ্ত পরামিতি $m=1$। পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{m}}$ এবং সূঁচলতাঙ্ক $\beta_2 = 3 + \frac{1}{m}$। $$\begin{aligned} \text{বঙ্কিমতাঙ্ক } \gamma_1 &= \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 \\ \text{সূঁচলতাঙ্ক } \beta_2 &= 3 + \frac{1}{1} = 4 \end{aligned}$$ মন্তব্য: যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্ক $\gamma_1 = 1 > 0$, তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (positively skewed)। আবার, সূঁচলতাঙ্ক $\beta_2 = 4 > 3$, তাই বিন্যাসটি অতি সূঁচল (leptokurtic)।