(ক) পৈঁসু বিন্যাস হলো এমন একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস, যেখানে কোনো নির্দিষ্ট সময়ে বা পরিসরে কোনো ঘটনা ঘটার গড় সংখ্যা জানা থাকে এবং ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা অত্যন্ত কম হয়। গাণিতিকভাবে, যদি কোনো দ্বিপদী বিন্যাসের চেষ্টার সংখ্যা $n$ খুব বড় হয়, সফলতার সম্ভাবনা $p$ খুব ছোট হয় এবং গড় $np = m$ সসীম থাকে, তবে সেই বিন্যাসকে পৈঁসু বিন্যাস বলে। (খ) পৈঁসু বিন্যাসের গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই এর পরামিতি $m$-এর সমান। অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় = ভেদাঙ্ক = $m$। উদ্দীপকে উল্লিখিত বিন্যাসটির গড় $2$ এবং ভেদাঙ্ক $3$ হওয়া অসম্ভব, কারণ পৈঁসু বিন্যাসের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী গড় ও ভেদাঙ্ক সর্বদা সমান হতে হয়। সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি গাণিতিকভাবে ভুল। (গ) ধরি, পৈঁসু বিন্যাসটির পরামিতি $m$। পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক হলো: $$P(x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots$$ প্রশ্নমতে, $P(x=2) = P(x=3)$। $$ \begin{aligned} \frac{e^{-m} m^2}{2!} &= \frac{e^{-m} m^3}{3!} \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{2} &= \frac{m}{6} \\ \Rightarrow \quad m &= \frac{6}{2} \\ \Rightarrow \quad m &= 3 \end{aligned} $$ অতএব, বিন্যাসটির পরামিতি $m = 3$। (ঘ) 'গ' হতে প্রাপ্ত পরামিতি $m = 3$। পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতা ($\sqrt{\beta_1}$) নির্ণয়: $$ \begin{aligned} \sqrt{\beta_1} &= \frac{1}{\sqrt{m}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \end{aligned} $$ যেহেতু $\sqrt{\beta_1} > 0$, তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচলতা ($\beta_2$) নির্ণয়: $$ \begin{aligned} \beta_2 &= 3 + \frac{1}{m} \\ &= 3 + \frac{1}{3} \\ &= 3.333 \end{aligned} $$ যেহেতু $\beta_2 > 3$, তাই বিন্যাসটি অতি সূঁচল (Leptokurtic)। সিদ্ধান্ত: বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচল প্রকৃতির।