(ক) দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে যদি চেষ্টার সংখ্যা $n$ অত্যন্ত বৃহৎ হয় এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা $p$ অত্যন্ত ক্ষুদ্র হয়, তবে সফলতা নির্দেশক চলককে পৈঁসু চলক বলে। (খ) পৈঁসু বিন্যাসের গড় $E(x) = m$ এবং ভেদাঙ্ক $V(x) = m$। পরিমিত ব্যবধান $\sigma = \sqrt{V(x)} = \sqrt{m}$। উদ্দীপক অনুযায়ী, গড় $m = 4$। তাহলে পরিমিত ব্যবধান হওয়া উচিত $\sigma = \sqrt{4} = 2$। যেহেতু পৈঁসু বিন্যাসের গড় ৪ এবং পরিমিত ব্যবধান ২ শর্তটি গাণিতিকভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তাই মন্তব্যটি সঠিক। (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী, জ্যাকেট খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা $p = 0.2\% = 0.002$ এবং প্রতি প্যাকেটে জ্যাকেটের সংখ্যা $n = 100$। পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি: $$m = np = 100 \times 0.002 = 0.2$$ আমরা জানি, $P(x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$। সুতরাং, $x = 2$ এর জন্য: $$P(x=2) = \frac{e^{-0.2} \cdot (0.2)^2}{2!} = \frac{0.81873 \times 0.04}{2} \approx 0.0164$$ (ঘ) ম্যানেজার সাহেবের বক্তব্য যাচাইয়ের জন্য: প্যাকেটে কোনো জ্যাকেট খারাপ না হওয়ার সম্ভাবনা: $$P(x=0) = \frac{e^{-0.2} \cdot (0.2)^0}{0!} = e^{-0.2} \approx 0.8187$$ মোট জ্যাকেট $1000$টি, যা $10$টি প্যাকেটের সমান ($1000/100 = 10$)। খারাপ জ্যাকেট নেই এমন প্যাকেটের প্রত্যাশিত সংখ্যা: $$E = 10 \times 0.8187 = 8.187 \approx 8$$ ম্যানেজার সাহেবের দাবি অনুযায়ী ৪০০টির বেশি খারাপ হবে না, অর্থাৎ খারাপ জ্যাকেটের সংখ্যা $x \leq 400$। যেহেতু গড় হার অত্যন্ত কম ($0.2\%$), তাই ১০০০টির মধ্যে ৪০০টির বেশি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় শূন্য। সুতরাং, ম্যানেজারের বক্তব্যটি যৌক্তিক ও সঠিক।