(ক) যে ভেক্টরের মান ১ (এক) তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়। উদাহরণ: $\mathbf{v} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরের দিক বরাবর একক ভেক্টর হলো: $$ \begin{aligned} \hat{v} &= \frac{2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{3} \end{aligned} $$ (খ) দেওয়া আছে, $\mathbf{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\mathbf{B} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$। $\mathbf{A}$ বরাবর $\mathbf{B}$ এর উপাংশ হলো $\left( \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}|} \right) \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|}$। $$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= (2)(-1) + (-3)(-4) + (-1)(7) = -2 + 12 - 7 = 3 \\ |\mathbf{A}| &= \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \\ \text{উপাংশ} &= \left( \frac{3}{\sqrt{14}} \right) \frac{2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{14}} = \frac{3}{14} (2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}) \end{aligned} $$ (গ) দেওয়া আছে, $P(-3, -2, -1)$, $Q(4, 0, -3)$ এবং $S(6, -7, 8)$। $$ \begin{aligned} \vec{PQ} &= (4 - (-3))\hat{i} + (0 - (-2))\hat{j} + (-3 - (-1))\hat{k} = 7\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \\ \vec{QS} &= (6 - 4)\hat{i} + (-7 - 0)\hat{j} + (8 - (-3))\hat{k} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 11\hat{k} \\ \vec{PQ} \times \vec{QS} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 2 & -2 \\ 2 & -7 & 11 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(22 - 14) - \hat{j}(77 - (-4)) + \hat{k}(-49 - 4) \\ &= 8\hat{i} - 81\hat{j} - 53\hat{k} \end{aligned} $$ $\triangle PQS$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{QS}|$। $$ \begin{aligned} |\vec{PQ} \times \vec{QS}| &= \sqrt{8^2 + (-81)^2 + (-53)^2} = \sqrt{64 + 6561 + 2809} = \sqrt{9434} \approx 97.13 \\ \text{ক্ষেত্রফল} &= \frac{1}{2} \times 97.13 = 48.565 \text{ বর্গ একক (প্রায়)} \end{aligned} $$ সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় $48.565$ বর্গ একক।