(ক) দেওয়া আছে, A(1, 2, 3) এবং B(-1, -1, 8)। A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{b} = -\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}$ AB রেখার ভেক্টর সমীকরণ হলো $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$, যেখানে $t$ একটি প্যারামিটার। $$\begin{aligned} \vec{b} - \vec{a} &= (-\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \\ &= -2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k} \end{aligned}$$ সুতরাং, AB বাহুর ভেক্টর সমীকরণ: $$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k})$$ $$\vec{r} = (1 - 2t)\hat{i} + (2 - 3t)\hat{j} + (3 + 5t)\hat{k}$$ (খ) দেওয়া আছে, $\vec{OB} = -\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}$। $$\begin{aligned} |\vec{OB}| &= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{1 + 1 + 64} = \sqrt{66} \end{aligned}$$ ধরি, $\vec{OB}$ ভেক্টরটি x, y ও z অক্ষের সাথে যথাক্রমে $\alpha, \beta$ ও $\gamma$ কোণ উৎপন্ন করে। $$\begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{-1}{\sqrt{66}} \Rightarrow \alpha = \cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{66}}) \\ \cos \beta &= \frac{-1}{\sqrt{66}} \Rightarrow \beta = \cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{66}}) \\ \cos \gamma &= \frac{8}{\sqrt{66}} \Rightarrow \gamma = \cos^{-1}(\frac{8}{\sqrt{66}}) \end{aligned}$$ (গ) প্রদত্ত বিন্দুত্রয় A(1, 2, 3), B(-1, -1, 8), C(-4, 4, 6)। $$\begin{aligned} \vec{AB} &= \vec{OB} - \vec{OA} = (-1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (8-3)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k} \\ |\vec{AB}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \\ \vec{BC} &= \vec{OC} - \vec{OB} = (-4 - (-1))\hat{i} + (4 - (-1))\hat{j} + (6 - 8)\hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k} \\ |\vec{BC}| &= \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38} \\ \vec{CA} &= \vec{OA} - \vec{OC} = (1 - (-4))\hat{i} + (2 - 4)\hat{j} + (3 - 6)\hat{k} = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k} \\ |\vec{CA}| &= \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38} \end{aligned}$$ যেহেতু $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{38}$, তাই ত্রিভুজটি সমবাহু।