(ক) দেওয়া আছে, $\mathbf{A} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\mathbf{B} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$। ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন: $$\begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= (\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \\ &= (1)(2) + (-2)(1) + (-3)(-1) \\ &= 2 - 2 + 3 \\ &= 3 \end{aligned}$$ যেহেতু $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \neq 0$, তাই ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব নয়। (খ) ধরি, আদি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\mathbf{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং শেষ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\mathbf{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$। সরণ $\mathbf{S} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = (3-1)\hat{i} + (5-(-2))\hat{j} + (-2-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}$। প্রদত্ত বল $\mathbf{F} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$। কাজ $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{S}$ $$\begin{aligned} W &= (2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}) \\ &= (2)(2) + (-3)(7) + (-6)(-5) \\ &= 4 - 21 + 30 \\ &= 13 \end{aligned}$$ নির্ণেয় কাজের পরিমাণ $13$ একক। (গ) ধরি, $\mathbf{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\mathbf{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$। সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda(\mathbf{b} - \mathbf{a})$ $$\begin{aligned} \mathbf{r} &= (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}) \\ &= (1 + 2\lambda)\hat{i} + (-2 + 7\lambda)\hat{j} + (3 - 5\lambda)\hat{k} \end{aligned}$$ কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য: $$\begin{aligned} x &= 1 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{x-1}{2} \\ y &= -2 + 7\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{y+2}{7} \\ z &= 3 - 5\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{z-3}{-5} \end{aligned}$$ সুতরাং, নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ: $$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{7} = \frac{z-3}{-5}$$