(ক) দেওয়া আছে, $A(2, 3, -6)$ এবং $B(2, 2, 6)$। মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর: $OA = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ $OB = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের মান: $$ \begin{aligned} |OA| &= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \\ |OB| &= \sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \end{aligned} $$ মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, $OA \cdot OB = |OA||OB| \cos \theta$: $$ \begin{aligned} (2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) &= 7 \times \sqrt{44} \cos \theta \\ 4 + 6 - 36 &= 14\sqrt{11} \cos \theta \\ -26 &= 14\sqrt{11} \cos \theta \\ \cos \theta &= -\frac{26}{14\sqrt{11}} = -\frac{13}{7\sqrt{11}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\frac{13}{7\sqrt{11}}\right) \end{aligned} $$ (খ) ধরি, $u = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ এবং $v = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$। সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $u$ ও $v$ হলে ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |u \times v|$। $$ \begin{aligned} u \times v &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(12 + 2) + \hat{k}(-9 - 1) \\ &= -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k} \end{aligned} $$ ক্ষেত্রফল: $$ \begin{aligned} \text{ক্ষেত্রফল} &= \frac{1}{2} \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{4 + 196 + 100} = \frac{1}{2} \sqrt{300} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ বর্গ একক} \end{aligned} $$ (গ) প্রদত্ত বিন্দু $A(3, 1, -2)$ এবং সমান্তরাল ভেক্টর $b = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$। ভেক্টর সমীকরণ: $r = a + \lambda b$ যেখানে $a = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। $$ r = (3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) $$ কার্তেসীয় সমীকরণ: $$ \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z + 2}{4} $$