(ক) দেওয়া আছে, A(1, 3, -1), B(2, -1, 1) এবং C(-1, 4, 2) বিন্দু তিনটি। বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে: $\vec{OA} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ $\vec{OB} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ $\vec{OC} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ এখন, $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2-1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (-1-1)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন: $$\begin{aligned} \vec{AB} \cdot \vec{AC} &= (1)(-2) + (-4)(1) + (2)(3) \\ &= -2 - 4 + 6 \\ &= 0 \end{aligned}$$ যেহেতু ডট গুণন শূন্য, তাই $\vec{AB}$ ও $\vec{AC}$ পরস্পর লম্ব। (খ) ধরি, BC বাহুর উপরস্থ যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}$ এবং $\lambda$ একটি স্কেলার প্যারামিটার। BC বাহুর ভেক্টর সমীকরণ: $$\vec{r} = \vec{OB} + \lambda(\vec{OC} - \vec{OB})$$ এখানে, $$\begin{aligned} \vec{OC} - \vec{OB} &= (-1-2)\hat{i} + (4-(-1))\hat{j} + (2-1)\hat{k} \\ &= -3\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k} \end{aligned}$$ সুতরাং, $$\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k})$$ $$\Rightarrow \vec{r} = (2 - 3\lambda)\hat{i} + (5\lambda - 1)\hat{j} + (1 + \lambda)\hat{k}$$ এটিই নির্ণেয় BC বাহুর ভেক্টর সমীকরণ। (গ) ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ ক্রস গুণন: $$\begin{aligned} \vec{AB} \times \vec{AC} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(-12 - 2) - \hat{j}(3 - (-4)) + \hat{k}(1 - 8) \\ &= -14\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k} \end{aligned}$$ মান নির্ণয়: $$\begin{aligned} |\vec{AB} \times \vec{AC}| &= \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2 + (-7)^2} \\ &= \sqrt{196 + 49 + 49} \\ &= \sqrt{294} = 7\sqrt{6} \end{aligned}$$ সুতরাং, ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 7\sqrt{6} = \frac{7\sqrt{6}}{2}$ বর্গ একক।