(ক) ধরি, ভেক্টর দুটি হলো $A = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ এবং $B = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$। $A$ ভেক্টরের ওপর $B$ ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: লম্ব অভিক্ষেপ $$= \frac{A \cdot B}{|A|}$$ এখানে, $$ A \cdot B = (2)(1) + (3)(4) + (-1)(3) = 2 + 12 - 3 = 11 $$ $$ |A| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $$ সুতরাং, লম্ব অভিক্ষেপটি হলো: $$ \frac{11}{\sqrt{14}} $$ (খ) মনে করি, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটি $A, B$ এবং $C$। উদ্দীপক অনুযায়ী ত্রিভুজের দুটি বাহু হলো $AB = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ এবং $AC = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$। ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু $BC = AC - AB = (1-2) \hat{i} + (4-3) \hat{j} + (3 - (-1)) \hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} + 4 \hat{k}$। বাহু তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হবে যদি তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট (Scalar Triple Product) শূন্য হয়। অর্থাৎ: $$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} &= 2(16 - 3) - 3(4 + 3) + (-1)(1 + 4) \\ &= 2(13) - 3(7) - 1(5) \\ &= 26 - 21 - 5 \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু নির্ণায়কের মান শূন্য, তাই বাহু তিনটি একই সমতলে অবস্থিত। (দেখানো হলো) (গ) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $$A = \frac{1}{2} |AB \times AC|$$ প্রথমে ক্রস গুণফল নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} AB \times AC &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}(9 - (-4)) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(8 - 3) \\ &= 13 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k} \end{aligned} $$ এখন এর মান বা মডুলাস নির্ণয় করি: $$ |AB \times AC| = \sqrt{13^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{169 + 49 + 25} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} $$ সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল: $$A = \frac{1}{2} \times 9\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$ বর্গ একক