(ক) প্রবাহীর দুটি স্তরের মধ্যে একক বেগের নতি বজায় রাখতে তাদের একক ক্ষেত্রফলে যে স্পর্শকীয় বলের প্রয়োজন হয়, তাকে ঐ প্রবাহীর সান্দ্রতাঙ্ক বা সান্দ্রতা গুণাঙ্ক বলে। (খ) ধরা যাক, ABCD একটি ক্ষুদ্র আয়তাকার তারের ফ্রেম, যার BC বাহু AB ও DC বরাবর চলাচল করতে পারে এবং অন্য বাহুগুলো স্থির। ফ্রেমটিকে সাবান পানিতে ডুবিয়ে তুলে আনলে এতে সাবান পানির একটি পাতলা পর্দা আটকে থাকে। পৃষ্ঠটানের জন্য এই পর্দা ফ্রেমের প্রত্যেক বাহুকে ভিতরের দিকে টানতে থাকে। BC বাহুর দৈর্ঘ্য $l$ এবং তরলের পৃষ্ঠটান $T$ হলে, BC বাহুর ওপর ভিতরের দিকে প্রযুক্ত বল, $$ F = 2lT $$ এখানে তরলের ওপর ও নিচ দুটি পৃষ্ঠের জন্য বল দ্বিগুণ হয়েছে। BC বাহুকে স্থির রাখতে বাইরের দিকে একই পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হয়। এবার BC বাহুকে $b$ দূরত্ব বাইরের দিকে সরিয়ে $B'C'$ অবস্থানে আনতে কৃতকাজ, $$ W = F \times b = 2lTb $$ এই প্রক্রিয়ায় তরল পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় $A = 2lb$। সুতরাং, তরলের পৃষ্ঠশক্তি, $$ E = \frac{W}{A} = \frac{2lTb}{2l b} = T $$ অর্থাৎ, পৃষ্ঠশক্তি পৃষ্ঠটানের সমান। (গ) দেওয়া আছে, পানির ফোঁটার ব্যাসার্ধ, $r = 0.5 \text{ cm} = 0.5 \times 10^{-2} \text{ m}$ প্রান্তবেগ, $v = 2.1 \times 10^{-2} \text{ ms}^{-1}$ গ্যাসের সান্দ্রতা সহগ, $\eta = 0.003 \text{ Nsm}^{-2}$ স্টোকসের সূত্রানুসারে, সান্দ্র বল, $$ F = 6 \pi \eta r v $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} F &= 6 \times 3.1416 \times 0.003 \times (0.5 \times 10^{-2}) \times (2.1 \times 10^{-2}) \\ &= 5.9376 \times 10^{-6} \text{ N} \\ &\approx 5.94 \times 10^{-6} \text{ N} \end{aligned} $$ নির্ণেয় সান্দ্র বল $5.94 \times 10^{-6} \text{ N}$। (ঘ) প্রথম ক্ষেত্রে, $10^6$ টি ছোট ফোঁটা মিলে একটি বড় ফোঁটা তৈরি হয়। ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ $r$ এবং বড় ফোঁটার ব্যাসার্ধ $R$ হলে, $$ \begin{aligned} \frac{4}{3} \pi R^3 &= 10^6 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow R &= 100r = 100 \times 0.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.5 \text{ m} \end{aligned} $$ পৃষ্ঠশক্তি বৃদ্ধি, $\Delta E_1 = T \Delta A = T(10^6 \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$, $$ \begin{aligned} \Delta E_1 &= 72 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.1416 \times \{10^6 \times (0.5 \times 10^{-2})^2 - (0.5)^2\} \\ &= 0.90478 \times \{25 - 0.25\} \approx 22.408 \text{ J} \end{aligned} $$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, $N=25$ টি ফোঁটা মিলে একটি বড় ফোঁটা তৈরি হয়। প্রতিটি ছোট ফোঁটার ব্যাস $0.166 \times 10^{-2} \text{ m}$, তাই ব্যাসার্ধ $r' = 0.083 \times 10^{-2} \text{ m}$। বড় ফোঁটার ব্যাসার্ধ $R' = \sqrt[3]{25} \times r' \approx 2.427 \times 10^{-3} \text{ m}$। পৃষ্ঠশক্তি হ্রাস, $\Delta E_2 = T(N \times 4 \pi r'^2 - 4 \pi R'^2)$, $$ \begin{aligned} \Delta E_2 &= 72 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.1416 \times \{25 \times (0.083 \times 10^{-2})^2 - (2.427 \times 10^{-3})^2\} \\ &= 0.90478 \times \{1.72225 \times 10^{-5} - 0.58903 \times 10^{-5\}} \\ &\approx 1.025 \times 10^{-5} \text{ J} \end{aligned} $$ যেহেতু $\Delta E_1 \neq \Delta E_2$, তাই উক্তিটি যথার্থ নয়।