(ক) দেওয়া আছে, A ভেক্টরের মান $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + \lambda^2 + (-1)^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$। $\vec{A}$ ভেক্টরের উপর $\vec{B}$ ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ $= \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} = \frac{(2)(6) + (\lambda)(6) + (-1)(-3)}{\sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{15 + 6\lambda}{\sqrt{5 + \lambda^2}}$। প্রশ্নমতে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= |\vec{A}| \times | \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} | = 9$ $$\begin{aligned} \Rightarrow\quad |15 + 6\lambda| &= 9 \\ \Rightarrow\quad 15 + 6\lambda &= 9 \quad \lor \quad 15 + 6\lambda = -9 \\ \Rightarrow\quad 6\lambda &= -6 \quad \lor \quad 6\lambda = -24 \\ \Rightarrow\quad \lambda &= -1 \quad \lor \quad \lambda = -4 \end{aligned}$$ (খ) তিনটি ভেক্টর $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হবে। $$\begin{aligned} | \begin{matrix} 2 & \lambda & -1 \\ 6 & 6 & -3 \\ 2 & -3 & 6 \end{matrix} | &= 0 \\ \Rightarrow\quad 2(36 - 9) - \lambda(36 + 6) - 1(-18 - 12) &= 0 \\ \Rightarrow\quad 2(27) - 42\lambda - 1(-30) &= 0 \\ \Rightarrow\quad 54 - 42\lambda + 30 &= 0 \\ \Rightarrow\quad 84 - 42\lambda &= 0 \\ \Rightarrow\quad 42\lambda &= 84 \\ \Rightarrow\quad \lambda &= 2 \end{aligned}$$ (গ) ধরি, $\vec{B} = 6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\vec{C} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$। $\vec{B}$ বরাবর $\vec{C}$ এর উপাংশ ভেক্টর $\vec{u} = ( \frac{\vec{C} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} ) \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|}$। $$\begin{aligned} \vec{C} \cdot \vec{B} &= (2)(6) + (-3)(6) + (6)(-3) = 12 - 18 - 18 = -24 \\ |\vec{B}| &= \sqrt{6^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9 \\ \vec{u} &= ( \frac{-24}{9} ) \frac{6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}}{9} = -\frac{8}{3} \cdot \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3} = -\frac{16}{9}\hat{i} - \frac{16}{9}\hat{j} + \frac{8}{9}\hat{k} \end{aligned}$$ ধরি, $\vec{u}$ ভেক্টরটি y-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে। y-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর $\hat{j}$। $$\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\vec{u} \cdot \hat{j}}{|\vec{u}|} \\ |\vec{u}| &= \sqrt{(-\frac{16}{9})^2 + (-\frac{16}{9})^2 + (\frac{8}{9})^2} = \sqrt{\frac{256 + 256 + 64}{81}} = \sqrt{\frac{576}{81}} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \\ \cos \theta &= \frac{-16/9}{8/3} = -\frac{16}{9} \times \frac{3}{8} = -\frac{2}{3} \\ \therefore \theta &= \cos^{-1}(-\frac{2}{3}) \end{aligned}$$