(ক) দেওয়া আছে, $\underline{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}$ এবং $\underline{b}=\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$। আমরা জানি, ভেক্টর গুণফল নির্ণয়ের পদ্ধতি হলো: $$\begin{aligned} \underline{a} \times \underline{b} &= | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 4 & 3 \end{matrix} | \\ &= \hat{i}(-9 - (-4)) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(8 - (-3)) \\ &= \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(6 + 1) + \hat{k}(8 + 3) \\ &= -5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 11 \hat{k} \end{aligned}$$ নির্ণেয় ভেক্টর গুণফল $-5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 11 \hat{k}$। (খ) $A$ ও $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\overrightarrow{OA} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} - \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{OB} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$। $AB$ এর মধ্যবিন্দু $M$ এর অবস্থান ভেক্টর: $$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = ( \frac{2+1}{2} ) \hat{i} + ( \frac{-3+4}{2} ) \hat{j} + ( \frac{-1+3}{2} ) \hat{k} = \frac{3}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \hat{k}$$ $\overrightarrow{AB}$ ভেক্টরটি হলো: $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1-2) \hat{i} + (4 - (-3)) \hat{j} + (3 - (-1)) \hat{k} = -\hat{i} + 7 \hat{j} + 4 \hat{k}$$ $M$ বিন্দুগামী এবং $\overrightarrow{AB}$ এর সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ $\vec{r} = \overrightarrow{OM} + t \overrightarrow{AB}$: $$x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} = ( \frac{3}{2} - t ) \hat{i} + ( \frac{1}{2} + 7t ) \hat{j} + (1 + 4t) \hat{k}$$ সহগ সমীকৃত করে পাই: $$\begin{aligned} x &= \frac{3}{2} - t \Rightarrow t = \frac{x - 3/2}{-1} = \frac{2x - 3}{-2} \\ y &= \frac{1}{2} + 7t \Rightarrow t = \frac{y - 1/2}{7} = \frac{2y - 1}{14} \\ z &= 1 + 4t \Rightarrow t = \frac{z - 1}{4} \end{aligned}$$ সুতরাং, কার্তেসীয় সমীকরণটি হলো: $$\frac{2x - 3}{-2} = \frac{2y - 1}{14} = \frac{z - 1}{4}$$ (গ) $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$ $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1+16+9} = \sqrt{26}$ $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{1+49+16} = \sqrt{66}$ যেহেতু $|\overrightarrow{AB}|$ বৃহত্তম, তাই এর বিপরীত কোণ $\angle AOB$ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ। ধরি, $\angle AOB = \theta$। $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|} = \frac{(2)(1) + (-3)(4) + (-1)(3)}{\sqrt{14} \sqrt{26}} = \frac{2 - 12 - 3}{\sqrt{364}} = \frac{-13}{2 \sqrt{91}}$$ $$\theta = \cos^{-1} ( \frac{-13}{2 \sqrt{91}} )$$ নির্ণেয় বৃহত্তম কোণ $\cos^{-1} ( \frac{-13}{2 \sqrt{91}} )$।