ABCD একটি চতুর্ভুজ। E, F, G ও H যথাক্রমে AB, BC, CD এবং DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, EFGH একটি সামান্তরিক।

ধরি, ভেক্টরসমূহ যথাক্রমে $\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$, $\overrightarrow{BC} = \mathbf{b}$, $\overrightarrow{CD} = \mathbf{c}$ এবং $\overrightarrow{DA} = \mathbf{d}$।

যেহেতু E, F, G, H মধ্যবিন্দু, তাই আমরা লিখতে পারি:

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} \\ &= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \\ &= \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \end{aligned} $$ অনুরূপভাবে, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{FG} &= \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) \\ \overrightarrow{GH} &= \frac{1}{2}(\mathbf{c} + \mathbf{d}) \\ \overrightarrow{HE} &= \frac{1}{2}(\mathbf{d} + \mathbf{a}) \end{aligned} $$ আমরা জানি, একটি বদ্ধ চতুর্ভুজের বাহুগুলোর সমষ্টি শূন্য ভেক্টর হয়। অর্থাৎ, $$ \begin{aligned} \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} + \mathbf{d} &= \vec{0} \\ \Rightarrow \mathbf{a} + \mathbf{b} &= -(\mathbf{c} + \mathbf{d}) \end{aligned} $$ এখন, $$ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} &= \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \\ &= -\frac{1}{2}(\mathbf{c} + \mathbf{d}) \\ &= -\overrightarrow{GH} \\ &= \overrightarrow{HG} \end{aligned} $$ যেহেতু $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$, তাই EF এবং HG বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, GF এবং HE বাহুদ্বয়ও পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

অতএব, EFGH একটি সামান্তরিক।

প্রমাণিত।